Nach x auflösen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 10.11.2013 | | Autor: | jack1700 |
Wie findet man x für y=4?
Ich habe mir diese Frage gestellt da ich bemerkt habe das ich nicht weiß wie man soeine Aufgaben stellung lösen sollte und ich am Montag über exponentialfunktionen schreibe..
Dies ist keine extestierende Aufgabe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 So 10.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(x)= x*e^(x)
> Wie findet man x für y=4?
Ohne ein Näherungsverfahren gar nicht, die Gleichung [mm] 4=x\cdot e^{x} [/mm] ist mit Umformungen nicht lösbar.
Die einige "Variante" wäre y=0, also [mm] 0=x\cdot e^{x}
[/mm]
Dort kannst du den Satz des Nullproduktes nutzen, ein Produkt ist ja genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Viel Erfolg bei der Arbeit am Montag.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 10.11.2013 | | Autor: | Ladon |
> f(x)= x*e^(x)
> Wie findet man x für y=4?
Wie schon mein Vorgänger bemerkte ist die Gleichung mit schulischen Mitteln nicht lösbar, außer du rätst systematisch.
Falls dich ein Näherungsverfahren interessiert, ist das des Banachschen Fixpunktsatzes ein machtvolles Mittel, um solche Gleichungen zu lösen. (Ich hoffe ich schrecke dich jetzt mit folgenden Ausführungen nicht zu sehr ab  ) Ich werde im folgenden sehr reduziert, es dir vorführen:
Du musst die Gleichung in eine Fixpunktform x=f(x) bringen:
[mm] $4=x*e^x<=>\frac{4}{x}=e^x<=>x=ln(\frac{4}{x})$
[/mm]
(Zusatzinfo: Eigentlich müsstest du jetzt noch zeigen, dass [mm] $f:A\to [/mm] A$ mit A einer nichtleeren abgeschlossenen Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes eine strikte Kontraktion ist. Aber das ist für den schulbedarf etwas zu viel.)
Vereinfacht kannst du jetzt dein x durch [mm] x=ln(\frac{4}{x}) [/mm] für einen geratenen Startwert x im Sinne folgenden Iterationsverfahrens errechnen:
Ich rate mal [mm] x_1=2.
[/mm]
Setze [mm] x_1 [/mm] ein. Also: [mm] x_2=ln(\frac{4}{x_1})=ln(\frac{4}{2})=0,6931471806
[/mm]
Setze jetzt [mm] x_2 [/mm] ein. Also: [mm] x_3=ln(\frac{4}{x_2})=ln(\frac{4}{0,6931471806})=1,752807282
[/mm]
Setze dann [mm] x_3 [/mm] ein. Also: [mm] x_4=ln(\frac{4}{x_3})=ln(\frac{4}{1,752807282})=0,8250756975
[/mm]
Fahre in diesem Sinne weiter fort.
Nach sehr vielen Schritten mit dem Taschenrechner pendelt sich das Ergebnis auf ca. 1,202168769 ein.
Setze die Zahlen mal in [mm] $4=x*e^x$ [/mm] ein und du wirst sehen, das es eine "sehr genaue" Lösung der Gleichung darstellt. So könnte man die Richtigkeit des Ergebnisses nachweisen.
Das ganze habe ich in arg heruntergebrochener Form präsentiert. Es soll nur dem mathematischen Interesse dienen. Falls du Lust verspürst dich näher zu informieren, musst du nur nach Banachschen Fixpunktsatz suchen.
MfG Ladon
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