Nach einer anderen Variablen a < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 So 28.09.2014 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich komme gerade nicht auf die Lösung eines Problems. Ich habe die DGL
[mm] \frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}+\left(\frac{qU}{mr_{0}^{2}}+\frac{qV}{mr_{0}^{2}}cos({\omega}t)\right)x(t)=0
[/mm]
Nun sei [mm] \tau=\frac{1}{2}{\omega}t. [/mm] Das Ziel ist es jetzt, die DGL nicht mehr von t, sondern von [mm] \tau [/mm] abhängig zu haben. Ich stehe da gerade voll auf dem Schlauch. Ich weiß, dass ich wohl [mm] \tau [/mm] nach t ableiten muss [mm] \frac{d\tau}{dt}=\frac{1}{2}\omega.
[/mm]
Ab hier hänge ich jetzt aber. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 28.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich komme gerade nicht auf die Lösung eines Problems. Ich
> habe die DGL
>
> [mm]\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}+\left(\frac{qU}{mr_{0}^{2}}+\frac{qV}{mr_{0}^{2}}cos({\omega}t)\right)x(t)=0[/mm]
>
> Nun sei [mm]\tau=\frac{1}{2}{\omega}t.[/mm] Das Ziel ist es jetzt,
> die DGL nicht mehr von t, sondern von [mm]\tau[/mm] abhängig zu
> haben. Ich stehe da gerade voll auf dem Schlauch. Ich
> weiß, dass ich wohl [mm]\tau[/mm] nach t ableiten muss
> [mm]\frac{d\tau}{dt}=\frac{1}{2}\omega.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
machen wir es mal anders:
Nehmen wir an, Du hast eine Funktion
$x \colon \IR \to \IR$
zweimal differenzierbar.
Dann ist ja
$x\,''(t_0)=\left.\frac{d^2 x(t)}{dt^2}\right|_{t=t_0}\,.$
Nun sei
$t=t(\tau)\,.$
Dann folgt mit der Kettenregel
$\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\tau}*\frac{d\tau}{dt}\,.$
(Eigentlich müsste man rechts $dx/d\tau=d(x(t(\tau)))/d\tau$ schreiben, ich weiß
gerade die korrekte Notation nicht. Aber ich denke, ich muss das dann
dennoch irgendwie ergänzen - vielleicht hat ja jemand eine korrigierende
Notation dafür? Weiter unten stehen ähnliche symbolische Ausdrücke, die
bitte dann ebenfalls so zu lesen sind...)
Weiter mit der Produktregel
$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{d\tau}*\frac{d\tau}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)*\frac{d\tau}{dt}+\frac{d^2\tau}{dt^2}$
In Deinem speziellen Fall ist der rechteste Summand $\equiv 0\,.$ Deswegen können
wir (in diesem speziellen Fall)
$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)*\frac{d\tau}{dt}$
schreiben. Damit und mit der Kettenregel again
$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)*\frac{d\tau}{dt}*\frac{d\tau}{dt}=\frac{d^2x}{d\tau^2}*(\tau'(t))^2$
Guck' aber mal, ob ich da formal nicht irgendwo was falsch gerechnet habe
und schau' einfach mal, ob das zusammenpasst.
Ich glaube, am Besten ist das Ganze, wenn man sich genau hinschreibt,
was gegeben ist und was in welcher Art und Weise transformiert wird:
Es sei etwa
$x \colon \IR \to \IR$
eine zweimal differenzierbare Funktion $x=x(t)\,.$
Wir betrachten
$g \colon \IR \to \IR$
mit
$g(\tau):=t(\tau)=\frac{2}{\omega}\tau\,.$
Für alle $\tau \in \IR$ folgt
$x(t)=x(g(\tau))=(x \circ g)(\tau)\,.$
Setze
$f:=x \circ g \colon \IR \to \IR\,,$
dann...
Irgendwie auf diese Art und Weise halt.
Gruß,
Marcel
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