Nabla Operator, Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] D\subset \IR^3 [/mm] offen. [mm] f\in C^2(D) [/mm] und [mm] u\in C^2(D,\IR^3). [/mm] Zeige:
1. [mm] \nabla*(\nabla \times [/mm] u)=0
2. [mm] \nabla \times \nabla [/mm] f=0 |
Hie handelt es sich um die Vivergenz und den Gradienten. Aber auch hier hab ich wieder keine Ahnung wie man das zeigen kann. Soll das anhand von Beispielen gezeigt werden oder hergeleitet werden?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Sa 28.04.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]D\subset \IR^3[/mm] offen. [mm]f\in C^2(D)[/mm] und [mm]u\in C^2(D,\IR^3).[/mm]
> Zeige:
>
> 1. [mm]\nabla*(\nabla \times[/mm] u)=0
> 2. [mm]\nabla \times \nabla[/mm] f=0
> Hie handelt es sich um die Vivergenz und den Gradienten.
> Aber auch hier hab ich wieder keine Ahnung wie man das
> zeigen kann. Soll das anhand von Beispielen gezeigt werden
> oder hergeleitet werden?
Du sollst das schon herleiten.
Was ist denn
[mm] $\nabla \times [/mm] u$
Was ist dann
[mm] $\nabla\cdot(\nabla \times [/mm] u)$?
Setze doch mal ein allgemeines Element aus [mm] $u\in C^2(D,\IR^3)$ [/mm] ein.
>
>
> MfG
> Mathegirl
Marius
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Naja [mm] \nabla \times [/mm] u ist die Rotation bzw man erhält so eine Vektorfunktion die man Rotation nennt.
Als Beispiel mal
[mm] u=\vektor{-y \\ x}
[/mm]
Dann gilt [mm] \nabla \times [/mm] f= [mm] \vektor{\bruch{\delta}{\delta x} \\ \bruch{\delta}{\delta y}}\times \vektor{-y \\ x} [/mm]
Wenn man [mm] \nabla*(\nabla \times [/mm] u) haben möchte nimmt man das Ergebnis der Rotation und bildet davon die Divergenz? Richtig?
Nur warum muss die Rotation =0 sein? Das die Divergenz von 0 auch 0 sein muss, das ist klar.
Trotzdem hab ich jetzt noch keine Ahnung wie ich das herleiten kann.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 28.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja [mm]\nabla \times u[/mm] ist die Rotation bzw man erhält so
> eine Vektorfunktion die man Rotation nennt.
>
> Als Beispiel mal
>
> [mm]u=\vektor{-y \\ x}[/mm]
Es geht aber hier um den [mm] $\IR^3$, [/mm] nicht den [mm] $\IR^2$. [/mm]
> Wenn man [mm]\nabla*(\nabla \times u)[/mm] haben möchte nimmt man
> das Ergebnis der Rotation und bildet davon die Divergenz?
> Richtig?
Richtig.
> Nur warum muss die Rotation =0 sein?
Mach doch das, was Marius vorschlug: nimm ein allgemeines u,
[mm] u = \vektor{u_1\\u_2\\u_3} [/mm] .
Wie ist [mm] $\nabla \times [/mm] u$ definiert? Setze das u in diese Definition ein, berechne [mm] $\nabla \times [/mm] u$ und danach die Divergenz davon.
Viele Grüße
Rainer
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Den Ansatz habe ich auch schon probiert, komme aber nur bis zur Divergenz, da verstehe ich nicht warum da 0 rauskommen muss.
[mm] \nabla*(\nabla \times [/mm] u)=0
[mm] (\nabla \times u)=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x} \\ \bruch{\delta}{\delta y} \\ \bruch{\delta}{\delta z}} \times \vektor{f_x(x,y,z) \\ f_y(x,y,z) \\ f_z(x,y,z)}=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x}f_z-\bruch{\delta}{\delta z}f_y \\ \bruch{\delta}{\delta y}f_x-\bruch{\delta}{\delta x}f_z \\ \bruch{\delta}{\delta z}f_y-\bruch{\delta}{\delta y}f_z}
[/mm]
[mm] \nabla*(\vektor{\bruch{\delta}{\delta x}f_z-\bruch{\delta}{\delta z}f_y \\ \bruch{\delta}{\delta y}f_x-\bruch{\delta}{\delta x}f_z \\ \bruch{\delta}{\delta z}f_y-\bruch{\delta}{\delta y}f_z}) [/mm]
muss ja jetzt 0 ergeben aber warum? Hierbei handelt es sich ja um die Rotation, aber wie soll ich zeigen, dass da 0 raus kommt?
[mm] \nabla \times \nabla [/mm] f=
[mm] \nabla \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x}f(x,y,z) \\ \bruch{\delta}{\delta y}f(x,y,z) \\ \bruch{\delta}{\delta z}f(x,y,z)} [/mm]
[mm] \nabla \times \vektor{\bruch{\delta}{\delta x}f(x,y,z) \\ \bruch{\delta}{\delta y}f(x,y,z) \\ \bruch{\delta}{\delta z}f(x,y,z)} [/mm] = 0
Hie auch wieder das Problem dass ich nicht weiß wie ich zeige dass 0 bei raus kommt.
Könnt ihr mir an der Stelle weiter helfen?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 29.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst doch
$ [mm] \nabla\cdot{}(\nabla \times [/mm] $ u)=0
wobei das vordere [mm] \nabls [/mm] skalar mit dem [mm] (\nabla \times [/mm] $ u) mult wird .
also führ das einfach durch!
Gruss leduart
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und genau da komme ich nicht weiter. ich bin nur bis zu den schritten in meinem letzten Post gekommen und dann versteh ich nicht wie ich das weiter multiplizieren soll.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 So 29.04.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
du wirst doch wohl
$ \bruch{\delta}{\delta x}f_z-\bruch{\delta}{\delta z}f_y \\ \bruch{\delta}{\delta y}f_x-\bruch{\delta}{\delta x}f_z \\ \bruch{\delta}{\delta z}f_y-\bruch{\delta}{\delta y}f_z}) $
auführen können? also
\bruch{\delta}{\delta x}f_z-\bruch{\delta}{\delta z}f_y)
dazu addiert \bruch{\delta}{\delta y}(\bruch{\delta}{\delta y}f_x-\bruch{\delta}{\delta x}f_z)
und noch den letzten Term?
wie bildest du denn \nabla* Vektor? Du weisst doch wie man Skalarprodukte rechnet?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Do 03.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Warum eigentlich multipliziert?
In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass folgendes gilt:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/1/6/3/163e51e62327f3a5f17856eaaf221b6a.png
Kann mir bitte jemand erklären, warum man dies nun mit der Determinante verknüpfen kann? Das eine ist doch ein Vektor, die Determinante ausgerechnet ergibt doch keinen Vektor, oder?
Deshalb habe ich es wie in dem Link aufgefasst, und den ersten Operator in der Aufgabenstellung als Divergenz aufgefasst. Mit Summenregel ergibt sich dann:
[mm] \partial_1(\partial_2f_3-\partial_3f_2)+\partial_2(\partial_3f_1-\partial_1f_3)+\partial_3(\partial_1f_2-\partial_2f_1).
[/mm]
Aber das kürzt sich eben auch nach Anwenden der Summenregel für Ableitungen nicht zu 0.
EDIT: Ok. Durch Anwenden des Satzes von Schwarz kann ich die Ableitungen vertauschen und somit kürzt sich alles heraus.
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