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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 05.01.2005 | | Autor: | chegga |
hi leute...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich muss a montag ne mathe gfs machen... ich hab da abern kleines problem:
In unserem Mathebuch steht das man für das NV die Tangente am Punkt x [mm] \circ [/mm] bestimmen muss!
Diese hat aus geometrischen Gründen die Gleichung:
y=f(x [mm] \circ)+f'(x \circ) [/mm] *(x-x [mm] \circ)
[/mm]
WIE KOMMT MAN AUF DIE GLEICHUNG?????
Die normale Geradengleichung ist doch y=mx+c
Könnt ihr mir das möglichst schnell erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mi 05.01.2005 | | Autor: | moudi |
> hi leute...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ich muss a montag ne mathe gfs machen... ich hab da abern
> kleines problem:
> In unserem Mathebuch steht das man für das NV die
> Tangente am Punkt x [mm]\circ[/mm] bestimmen muss!
>
> Diese hat aus geometrischen Gründen die Gleichung:
> y=f(x [mm]\circ)+f'(x \circ)[/mm] *(x-x [mm]\circ)
[/mm]
Diese Gleichung ist von der Form y=mx+c, denn [mm]x_0[/mm] ist eine feste Zahl, zur Verdeutlichung schreibe ich mal a statt [mm]x_0[/mm]. Durch umformen erhält man
[mm]y=f(a)+f'(a) (x-a)=f'(a) x+f(a)-f'(a)\cdot a[/mm]
Es ist also [mm]m=f'(a)[/mm] und [mm]q=f(a)-f'(a)\cdot a[/mm]
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> WIE KOMMT MAN AUF DIE GLEICHUNG?????
> Die normale Geradengleichung ist doch y=mx+c
i) Es sollte klar sein, dass die Tangente im Kurvenpunkt a die gleiche Steigung hat wie die Funktion, deshalb gilt m=f'(a) wie du oben sehen kannst.
ii) Der Punkt P(a,f(a)) auf der Kurve liegt auch auf der Tangente, deshalb muss P die Tangentengleichung erfüllen mit y=f(a) und x=a.
d.h. [mm]f(a)=m\cdot a+q[/mm]. Die Steigung m haben wir schon m=f'(a). Lösen wir die Gleichung nach q auf so erhalten wir [mm]f(a)-m\cdot a=q[/mm] oder [mm]q=f(a)-f'(a)\cdot a[/mm], wie oben gesehen.
Du siehst diese Art der Tangentengleichung -- y=f`(a)(x-a) -- ist gleichwertig mit der anderen Form. Sie hat aber den Vorteil, dass man sie viel schneller hinschreiben kann, man brauch nur f`(a) zu berechnen.
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> Könnt ihr mir das möglichst schnell erklären?
>
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Hallo,
zunächst einmal ist das die Zweipunkteform:
[mm]\frac{{y\; - \;f\left( {x_0 } \right)}}{{x\; - \;x_0 }}\; = \;m[/mm]
Für m gilt nun folgendes:
[mm]m\; = \;\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \;\frac{{f(x_0 + \;h)\; - f\left( {x_0 } \right)}}{h}\; = \;f^{'} \left( {x_0 } \right)[/mm]
Die Gleichung
[mm]\frac{{f(x_0 + \;h)\; - f\left( {x_0 } \right)}}{h}[/mm]
ist die Steigung der Sekante.
Macht man den Abstand (h) immer kleiner, bis er schliesslich 0 wird,
so geht die Sekante über in eine Tangente.
Gruss
MathePower
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Tangente