N-fache Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die stetige Funktion [mm] f:\IR-\IR, [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^{2}}}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Wie oft ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar, d.h. für welche n [mm] \in \IN [/mm] exestiert, die n-te Ableitung? |
Hallo,
also stetig ist das ganze, weil für x [mm] \not= [/mm] 0, f(x)=0 bzw. [mm] x=e^{-1/x^2} [/mm] wäre, und für x = 0 gehen beide limes gegen 0, sind also gleich.
Ich hab nun die Vermutung, dass das ganze unendlich oft differenzierbar ist (durch eigenes Ausprobieren und Maple befragen). Mein Beweisansatz wäre jetzt per Induktion zu zeigen, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Ableitung für f(x) x>0 eine Funktion ist, die für x->0 auch 0 wird. Wenn man sich die Ableitungen betrachtet, sehen sie alle in etwa so aus:
[mm] f^{(n)}(x)=e^{-\bruch{1}{x^{2}}}*\summe_{k=0}^{n}((a(k))(n)/x^{2}) [/mm] mit (a(k))(n) [mm] \in \IR [/mm] f.a. k,n [mm] \in \IN [/mm] und (a(k))(0)=1
Also ist (a(k))(n) eine Folge von Koeffezienten-Folgen für die jeweiligen [mm] 1/x^{k}. [/mm]
Das ist sehr allgemein gefasst und führt im Induktionsschritt zu sowas:
[mm] e^{-\bruch{1}{x^{2}}}*(\summe_{k=0}^{n}(2(a(k))(n)/x^{k+3})-\summe_{k=0}^{n}(k(a(k)(n)/x^{k+1}))
[/mm]
Mir ist vielleicht klar, dass das so ungefähr die n-te Ableitung darstellt, aber ich fürchte, dass es sonst nicht wirklich nachvollziehbar ist und wahrscheinlich auch zu weit hergeholt. Deshalb meine Frage, ist der Ansatz machbar? Und wenn ja, wie kann ich die allgemeine Formel besser formulieren, um den Beweis zu führen. (Eine ausführliche Beweisskizze wäre nett ^_^ und es wäre großartig, wenn eine Antwort möglichst zeitnah kommen würde, weil ich das Blatt morgen um 12 Uhr abgeben muss. Aber auch wenn das nicht klappt, würde ich mich trotzdem über eine Hilfestellung freuen :) )
Lg Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mi 07.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
es wird wohl übersichtlicher sein, wenn du zeigst, dass für x>0, $n [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] gilt [mm] $f^{(n)}(x)=P_n(1/x)\exp(-1/x^2)$ [/mm] mit Polynomen [mm] $P_n$.
[/mm]
Liebe Grüße
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Danke für die schnelle Antwort,
z.Z: x>0 n [mm] \in \IN f^{(n)}(x)=P_{n}(1/x)*e^{-1/x^{2}}
[/mm]
Bew. durch voll. Ind. über n:
IA: n=0
[mm] e^{-1/x^{2}}=1*1/x^{0} [/mm] mit [mm] P_{0}(1/x)=1*1/x^{0}
[/mm]
IV:...
IS: n=n+1
[mm] f^{(n+1)} [/mm] = [mm] df^{(n)}(x)/dx [/mm] = [mm] d(P_{n}(1/x)*e^{(-1/x^{2}})/dx [/mm] (nach IV)
[mm] =P_{n}(1/x)*2*x^{-3}*e^{-1/x^{2}}+P_{n}(1/x)*e^{-1/x^{2}}=e^{-1/x^{2}}*(\summe_{k=0}^{n}(2*p_{k}/x^{k+3})-\summe_{k=0}^{n}(k*p_{k}/x^{k+1})=e^{-1/x^{2}}*(\summe_{k=0}^{n}(2*p_{k}/x^{k+3})-\summe_{k=0}^{n}(k*p_{k}*x^{2}/x^{k+3})=e^{-1/x^{2}}*(\summe_{k=0}^{n}(p_{k}*(2-k*x^{2})/x^{k+3})
[/mm]
Ist bis dahin alles richtig und zielführend oder hab ich an deiner Idee "vorbeigerechnet"? Zwar sieht der letzte Term schon allgemein aus, wie die allgemeine Ableitung, aber wie begründe ich, dass er gerade das ist?
Lg Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Do 08.01.2015 | | Autor: | andyv |
Du leitest $ [mm] f^{(n)}(x)=P_{n}(1/x)\cdot{}e^{-1/x^{2}} [/mm] $ schon falsch ab, was du dann machst, weiß ich nicht (was ist [mm] $p_k$?), [/mm] sieht aber unnötig kompliziert aus.
Liebe Grüße
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