Multiplikation von Teilmengen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Möchte mir den Satz, die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers bilden selbst wieder eine Gruppe (Faktorgruppe), am Beispiel der Kleinschen Vierergruppe verdeutlichen.
G= ({0,1,a,b},◊) Gu = ({0,1},◊)
G/Gu = { {a,b},{1,0},◊ } Faktorgruppe
Um nun zu Beweisen, das es sich um eine Gruppe handelt möchte ich zuerst die Abgeschlossenheit beweisen und damit fängt mein Problem an.
Ich weiß nicht, wie ich diese zwei Teilmengen miteinander Verknüpfen soll. Hab allgemein dazu folgendes gefunden:
A,B [mm] \in [/mm] M dann ist A*B = {a*b | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}
Leider Verstehe ich nichtmal die Multiplikation von Teilmengen. (Gehe davon aus, dass ◊ analog zu * funktioniert)
Wäre Super wenn jemmand mir folgendes mal kurz vorrechnet:
A= {1,2} B= {3,4}
Was ist nun A*B ?
Danke für alle Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 So 24.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
Dein Denkfehler beginnt bereits vor den Mengenoperationen. Wie sind denn Nebenklassen definiert?
LG
Alex
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Hi Alex,
erstmal Danke für deine Antwort.
Nebenklassen sind wie folgt definiert:
a*U= { a * x | x [mm] \in [/mm] U } (Linksnebenklasse)
und analog U*a für Rechtsnebenklasse, die bei einem Normalteiler ja gleich sind.
Leider verstehe ich aber noch nicht, was bzw. wo mein Denkfehler ist. Hab meine Faktorgruppe nochmals neu berechnet und komme auf das gleiche Ergebnis. Meinst du das diese Falsch ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 01.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 24.02.2008 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
> Möchte mir den Satz, die Menge der Nebenklassen eines
> Normalteilers bilden selbst wieder eine Gruppe
> (Faktorgruppe), am Beispiel der Kleinschen Vierergruppe
> verdeutlichen.
>
> $G= (\{0,1,a,b\},◊)$ $Gu = (\{0,1\},◊)$
>
> $G/Gu = \{ \{a,b\},\{1,0\},◊ \}$ Faktorgruppe
Du meinst wohl eher: $G/Gu = (\{ \{a, b\}, \{1, 0\} \}, ◊ \}$.
> Um nun zu Beweisen, das es sich um eine Gruppe handelt
> möchte ich zuerst die Abgeschlossenheit beweisen und damit
> fängt mein Problem an.
> Ich weiß nicht, wie ich diese zwei Teilmengen miteinander
> Verknüpfen soll. Hab allgemein dazu folgendes gefunden:
> $A,B \in M$
Was ist denn $M$?
> dann ist $A*B = \{a*b \mid a \in A, b \in B\}$
>
> Leider Verstehe ich nichtmal die Multiplikation von
> Teilmengen. (Gehe davon aus, dass ◊ analog zu *
> funktioniert)
>
> Wäre Super wenn jemmand mir folgendes mal kurz vorrechnet:
>
> $A= \{1,2\}$ $B= \{3,4\}$
Hier ist $A * B = \{ 1 * 3, 1 * 4, 2 * 3, 2 * 4 \}$.
LG Felix
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Danke für deine Antwort und Korrektur,
wenn ich aber nun stat A= {1,2} B= {3,4} die beiden Teilmengen {a,b} und {1,0} mit ◊ verknüpfe zwecks Überprüfung der Abgeschlossenheit (wenn a,b [mm] \in [/mm] G dann muss auch a*b [mm] \in [/mm] G sein) , also: {a,b}◊{1,0}
dann komme ich auf {b,a,a,b}. Dies ist aber kein Element aus der Faktorgruppe?!? Und widerspricht somit auch dem Satz den ich in meiner ersten Frage gerade mit diesem Beispiel mir verdeutlichen wollte.
Verstehe jetzt echt nicht was da falsch ist. Bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 24.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke für deine Antwort und Korrektur,
>
> wenn ich aber nun stat A= {1,2} B= {3,4} die beiden
> Teilmengen {a,b} und {1,0} mit ◊ verknüpfe zwecks
> Überprüfung der Abgeschlossenheit (wenn a,b [mm]\in[/mm] G dann muss
> auch a*b [mm]\in[/mm] G sein) , also: {a,b}◊{1,0}
> dann komme ich auf {b,a,a,b}. Dies ist aber kein Element
> aus der Faktorgruppe?!?
Doch, weil [mm] $\{ b, a, a, b \} [/mm] = [mm] \{ a, b \}$ [/mm] ist! (In Mengen gibt es keine mehrfach vorkommenden Elemente, wenn also etwas doppelt da steht kann man das eine weglassen, und es bleibt die gleiche Menge.)
LG Felix
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Vielen Dank Felix,
das jedes Element nur einmal Vorkommen darf hatte ich total übersehen. Jetzt überstimmt auch alles mit dem Satz.
Nochmal Danke für eure Hilfe
Mfg
christoph
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