Multiplikation von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 02.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit den Berechnen eines Produktes zweier Matrizen. Ich weiß, ich kann nur welche multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der rechten Matrize gleich der Zeilenanzahl der linken Matrize ist. Aber, wenn diese Voraussetzung gegeben ist, wie kann ich denn dann bitte weiter machen? Die Addition erfolgt ja elementweise. Ist das so auch bei der Multiplikation?
Liebe Grüße und einen schönen Abend wünsch ich euch noch. Und danke für (hoffentlich) eine baldige Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
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> ich habe ein kleines Problem mit den Berechnen eines
> Produktes zweier Matrizen. Ich weiß, ich kann nur welche
> multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der rechten Matrize
> gleich der Zeilenanzahl der linken Matrize ist. Aber, wenn
> diese Voraussetzung gegeben ist, wie kann ich denn dann
> bitte weiter machen? Die Addition erfolgt ja elementweise.
> Ist das so auch bei der Multiplikation?
Nein. Sonst müssten die Matrizen die gleichen Dimensionen haben.
Seien A und B Matrizen mit der Voraussetzung, dass die Spaltenanzahl der Matrix A gleich der Zeilenanzahl der Matrix B, dann ist die Produktmatrix [mm]C=c_{ij}[/mm] so definiert, dass [mm]c_{ij}[/mm] gleich dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Kolonne von B ist, oder formaler
[mm]c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}[/mm]
Diese Definition rührt daher, dass wenn man eine [mm]n\times m[/mm]-Matrix als lineare Abbildung des [mm]\IR^m[/mm] in den [mm]\IR^n[/mm] auffasst, dass dann die Verknüpfung (hintereinander ausführen) zweier linearen Abbildung genau dieser Matrizenmultiplikation entspricht.
mfG Moudi
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Noch eine Kleinigkeit dazu, wie man sich das dann am besten vorstellt, wie die Multiplikation abläuft.
Nehmen wir als Beispiel mal die Matrizen [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm] und [mm]B=\pmat{ -1 & 2 \\ 5 & -4 \\ 7 & 1 }[/mm].
Da A eine [mm]3 \times 3[/mm], und B eine [mm]3 \times 2[/mm] Matrix ist, ist die Multiplikation [mm]A \cdot B[/mm] möglich ([mm]B \cdot A[/mm] hingegen nicht), und das Ergebnis wird sein eine [mm]3 \times 2[/mm]-Matrix.
Also das Produkt [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 } \cdot \pmat{ -1 & 2 \\ 5 & -4 \\ 7 & 1 }[/mm].
Du "ziehst" jetzt die erste Spalte von B über die Matrix A, und lässt sie um 90° nach links kippen. Jetzt stehen über den Einträgen 1 2 3 die Einträge -1 5 7 .
Diese Zeile "rutscht" jetzt durch die ganze Matrix A durch. Wenn sie gerade "in" der ersten Zeile von A liegt, werden die einzelnen Elemente miteinander multipliziert (1 mit -1, 2 mit 5, 3 mit 7), und diese Produkte addiert. Diese Summe ist der erste Eintrag deiner Produktmatrix.
Dann "rutscht" diese wandernde Zeile eine Zeile tiefer in A, und auch da wieder: multiplizieren, und aufaddieren. Das ist dann der Eintrag [mm]c_{21}[/mm], also in der Produktmatrix Zeile 2, Spalte 1 (direkt unter dem ersten Eintrag).
Und wenn diese 1. Spalte von B komplett durch A "durchgerutscht" ist, kommt eben die 2. Spalte von B dran.
Und so sieht dann die Rechnung aus:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 } \cdot \pmat{ -1 & 2 \\ 5 & -4 \\ 7 & 1 }\ =\ \pmat{ 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 7 & 4 \cdot 2 + 5 \cdot (-4) + 6 \cdot 1 \\ 7 \cdot (-1) + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 7 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot (-4) + 9 \cdot 1}\ =\ \pmat{ 30 & -3 \\ 63 & -6 \\ 96 & -9}[/mm]
Sieht am Anfang ziemlich pervers aus, aber üb das mal an ein paar Matrizen, dann geht das irgendwann deutlich schneller von der Hand.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Mo 03.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Ich glaub, jetzt müsst ich es auch hinbekommen. Vielen Dank für eure Antworten.
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