Multiple-Choice-Test < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Bei einem Multiple Choice Test werden zu jeder der drei Fragen drei Antwortmöglichkeiten angeboten, von denen stets genau eine richtig ist. Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens zwei der drei Fragen richtig beantwortet werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht man den Test mit zufälligem Ankreuzen? |
Ich hab gerechnet [mm] (1/3)^3 [/mm] + [mm] (1/3)^2 [/mm] *3
Stimmt der Ansatz?
Viele Grüße und lieben Dank
Kerstin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Mi 07.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Kerstin,
> Bei einem Multiple Choice Test werden zu jeder der drei
> Fragen drei Antwortmöglichkeiten angeboten, von denen stets
> genau eine richtig ist. Der Test gilt als bestanden, wenn
> mindestens zwei der drei Fragen richtig beantwortet werden.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht man den Test mit
> zufälligem Ankreuzen?
> Ich hab gerechnet [mm](1/3)^3[/mm] + [mm](1/3)^2[/mm] *3
> Stimmt der Ansatz?
Es geht in der Mathematik nicht nur darum "richtig" zu rechnen, sondern vor allem darum, die Problemstruktur zu erkennen und ein Modell darauf anzuwenden. Das Rechnen ist dann sozusagen der krönende Abschluss des Lösungswegs.
Fragt man nach einer Wahrscheinlichkeit, dann stellt man sinnvollerweise zuerst einmal klar, was hier überhaupt das Zufallsexperiment ist und definiert eine Ergebnismenge, darauf aufbauend dann ggf. eine Zufallsvariable und schließlich fragt man nach der Verteilung dieser Zufallsvariablen, d.h. nach der Wahrscheinlichkeit, mit der die ZV ihre möglichen Werte annimmt.
Oft gibt es bereits Standardverteilungen wie zB die Binomialverteilung, die man direkt benennen kann und für die es fertige Formeln gibt, so auch hier.
Wenn du all diese Schritte durchführst und begründest, werde ich dir gerne sagen, ob - und wenn nicht, warum nicht - du korrekt vorgegangen bist.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Kueken |
Na, dass ist mal ne Anleitung. Danke, ich werds jetzt mal versuchen. Merkwürdigerweise kann man mich Sachen über die Analysis und anal. Geometrie im Schlaf fragen, aber bei der Stochastik komm ich einfach nicht klar.
Zufallsexperiment: das Tippen einer Antwort
Ergebnismenge: r=richtig f=falsch
E={(r,r,r),(r,r,f),(r,f,r),(r,f,f),(f,r,r),(f,r,f),(f,f,r),(f,f,f)} Hierzu aber eine Frage: Wenn dieser Multiple Choice jetzt aus 100 verschiedenen Versuchen bestehen würde, dann könnte ich die Ergebnismenge doch gar nicht so hinschreiben. Was mache ich denn dann? (Jetzt mal grundsätzlich)
Zufallsvariable X wäre doch die Menge der Ereignisse, damit der Test bestanden ist. Oder nur ein Ereignis?
P(eine Antwort ist bei einer Frage richtig)=1/3
Hier geht es also darum ob bei einer Antwort, dass richtige Ergebnis rauskommt oder nicht.
Es gibt also 2 Ergebnisse und 3 unabhängige Versuche.
Der Test gilt als gewonnen, wenn 2 oder 3 Antworten richtig(also 2 oder 3 Treffer) sind.
P(X=2)+P(X=3)=P(Test bestanden bei zufälligem Raten)
P(X=2)= (2 aus 3) * [mm] (1/3)^2*(1-1/3)^{3-2}
[/mm]
=0,22
P(X=3)= (3 aus [mm] 3)*(1/3)^3*(2/3)^0
[/mm]
= 0,037
P(Test bestanden bei zufälligem Raten)= 0,22+0,037=0,257
Ich hab gerade gesehen, ich hatte die 2/3 vergessen bei meinem 1.Ansatz. Ich meinte also [mm] (1/3)^3+(1/3)^2*2/3*3
[/mm]
Dabei komme ich auf 0,259
Das wäre doch dann in etwa dasselbe oder?
Wäre mein erster Ansatz so auch falsch gewesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mi 07.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
du mußt hier erstmal eine grundsätzliche Entscheidung treffen:
Erkennst du sofort, daß hier eine Kette von unabhängigen Experimenten vorliegt mit jeweils gleicher "Erfolgswahrscheinlichkeit", dann ist es sinnvoll, einfach nur eines dieser Experimente zu betrachten und dann schließlich das Modell der Binomialverteilung anzuwenden.
Erkennst du das nicht sofort, solltest du das Experiment vollständig beschreiben.
> Zufallsexperiment: das Tippen einer Antwort
> Ergebnismenge: r=richtig f=falsch
hier beschreibst du die erste Variante, nur 1 mal Tippen
> E={(r,r,r),(r,r,f),(r,f,r),(r,f,f),(f,r,r),(f,r,f),(f,f,r),(f,f,f)}
Diese Ergebnismenge gehört aber nicht zu dem von dir beschriebenen Versuch, sondern zu 3-maligem Tippen.
> Hierzu aber eine Frage: Wenn dieser Multiple Choice jetzt
> aus 100 verschiedenen Versuchen bestehen würde, dann könnte
> ich die Ergebnismenge doch gar nicht so hinschreiben. Was
> mache ich denn dann? (Jetzt mal grundsätzlich)
Dafür gibt es abkürzende mathematische Schreibweisen, in diesem Fall dann $E = [mm] \{r, f\}^{100}.$ [/mm] Das ist das sogenannte kartesische Produkt der Menge {r,f} 100 mal mit sich selbst, also die Menge aller 100-Tupel, deren Einträge jeweils r oder f sind. Denk an die Vektorgeometrie: [mm] $\IR^3$ [/mm] ist das kartesische Produkt [mm] $\IR \times \IR \times \IR.$
[/mm]
> Zufallsvariable X wäre doch die Menge der Ereignisse,
> damit der Test bestanden ist.
Eine (reelle) Zufallsvariable (in der Schule werden normalerweise nur reelle ZV betrachtet) ist ganz einfach eine Funktion, die jedem Element der Ergebnismenge eine Zahl zuordnet. Man beschreibt sie normalerweise verbal, weil das idR am einfachsten ist.
> Oder nur ein Ereignis?
Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Man kann Ereignisse auch beschreiben, indem man sagt, daß alle diejenigen Teilmengen von E gemeint sein sollen, für die die ZufallsV. X eine bestimmte Zahl annimmt oder in einem bestimmten Bereich liegt.
> P(eine Antwort ist bei einer Frage richtig)=1/3
> Hier geht es also darum ob bei einer Antwort, dass
> richtige Ergebnis rauskommt oder nicht.
> Es gibt also 2 Ergebnisse und 3 unabhängige Versuche.
> Der Test gilt als gewonnen, wenn 2 oder 3 Antworten
> richtig(also 2 oder 3 Treffer) sind.
Hier solltest du wenigstens kurz erwähnen, daß die ZV
X: Anzahl der richtigen Antworten
binomialverteilt ist mit n=3 und p=1/3.
> P(X=2)+P(X=3)=P(Test bestanden bei zufälligem Raten)
> P(X=2)= (2 aus 3) * [mm](1/3)^2*(1-1/3)^{3-2}[/mm]
> =0,22
> P(X=3)= (3 aus [mm]3)*(1/3)^3*(2/3)^0[/mm]
> = 0,037
> P(Test bestanden bei zufälligem Raten)= 0,22+0,037=0,257
>
> Ich hab gerade gesehen, ich hatte die 2/3 vergessen bei
> meinem 1.Ansatz. Ich meinte also [mm](1/3)^3+(1/3)^2*2/3*3[/mm]
> Dabei komme ich auf 0,259
> Das wäre doch dann in etwa dasselbe oder?
> Wäre mein erster Ansatz so auch falsch gewesen?
Nein, das ist so jetzt vollkommen richtig.
Versuche, die oben erklärten Begriffe und die Vorgehensweise gut zu verstehen.
Dann wird Stochastik ganz leicht für dich. 
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank für die ausführliche Einführung.
Ich hoffe mal, dass das auch so hinkriege. Derzeit wiederhole ich nur ein bisschen. Aber man hat ja ein geprägtes Bild von sich selbst. Und in der Schule war ich in Stochastik immer schlechter als in den anderen Themengebieten. Diese Ehrfurcht hängt mir noch nach. Jetzt hab ich immerhin schonmal ne Strategie. Früher war es nur so ein Gefühl *lach*.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn mindestens 2 Antworten richtig sein sollen, können also 2 oder 3 Antworten richtig sein. Die Wahrscheinlichkeiten dafür könntest du einfach in einem Baumdiagramm ablesen/berechnen!
p("3 [mm] richtig")=(\bruch{1}{3})³ [/mm] hast du ja.
p("2 [mm] richtig")=(\bruch{1}{3})²*\bruch{2}{3}*3 [/mm] (du hast da [mm] \bruch{2}{3} [/mm] unterschlagen :) du müsstest ja 3 Wege gehen, wenn man es anschaulich sagen will... und der [mm] \bruch{2}{3}-Weg, [/mm] ist ein Falscher, den man gehen muss um auch genau 2 richtige zu kommen)
p("mindestens 2 richtig")=p("3 richtig")+p("2 [mm] richtig")=\bruch{1}{27}+\bruch{6}{27}=\bruch{7}{27} [/mm] würde ich zumindest sagen.
Man besteht also zu ca. 26%, also lieber lernen :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Kueken |
ich hab das mit dem Unterschlagen gemerkt. Stand aber auf meinem Block :)
Habs nur falsch abgeschrieben...
Merci
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