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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Di 09.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | a) Wie viele Multiindizes [mm] \alpha\in\IN_{0}^{n} [/mm] mit [mm] |\alpha|=k [/mm] gibt es? Begründen Sie ihre Antwort.
b) Zeigen Sie, dass für [mm] P(x)=x^{\alpha} [/mm] und ein [mm] \beta_{i}>\alpha_{i} [/mm] für [mm] i\in \{1,...,n\} [/mm] gilt: [mm] D^{\beta}P(x)=0.
[/mm]
c) Zeigen,Sie, dass für [mm] P(x)=\summe_{|\alpha|=k}^{}c_{\alpha}x^{\alpha} [/mm] und für [mm] \beta [/mm] mit [mm] |\beta|=k [/mm] gilt:
[mm] D^{\beta}P(x)=\beta !c_{\beta}. [/mm] |
Guten Abend! Ich bräuchte mal Hilfe bzw. einen Anstoß bei dieser Aufgabe. Generell kann ich mit dem Thema "Multiindizes" noch nicht wirklich viel anfangen und da ich aus gesundheitlichen Gründen nicht zu den letzten beiden Vorlesungen konnte, verstehe ich auch die Aufgabenstellung gar nicht so richtig. Was ich weiß ist, dass wir es hier mit Tupeln natürlicher Zahlen zu tun haben. Ich bin also über jeden Tipp dankbar!
Grüße
Emma
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Hiho,
wie ist denn ein ![[]](/images/popup.gif) Multiindex definiert? Insbesondere solltest du auch nachschlagen, wie [mm] x^\alpha [/mm] oder [mm] |\alpha| [/mm] definiert ist, falls [mm] \alpha [/mm] ein Multiindex ist.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 09.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Also ein Multiindex ist [mm] \alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{n})\in \IN_{0}^{n}.
[/mm]
[mm] |\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} [/mm] und [mm] \alpha!=\produkt_{i=1}^{n}\alpha_{i}!.
[/mm]
Für [mm] x\in \IR^{n} [/mm] und Multiindex [mm] \alpha [/mm] ist [mm] x^{\alpha} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}.
[/mm]
Für eine k-mal stetig diffbare Funktion f und [mm] \alpha [/mm] mit [mm] |\alpha|\le [/mm] k schreibt man [mm] D^{\alpha}f= D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}***D_{n}^{\alpha_{n}}f, [/mm] wobei [mm] D_{i}^{\alpha_{i}}=\underbrace{D_{i}***D_{i}}_{a_{i}-mal}.
[/mm]
Das ist so das, was ich mir als Definition rausgeschrieben habe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mi 10.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also ein Multiindex ist
> [mm]\alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{n})\in \IN_{0}^{n}.[/mm]
>
> [mm]|\alpha|=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}[/mm] und
> [mm]\alpha!=\produkt_{i=1}^{n}\alpha_{i}!.[/mm]
> Für [mm]x\in \IR^{n}[/mm] und Multiindex [mm]\alpha[/mm] ist [mm]x^{\alpha}[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}.[/mm]
> Für eine k-mal stetig diffbare Funktion f und [mm]\alpha[/mm] mit
> [mm]|\alpha|\le[/mm] k schreibt man [mm]D^{\alpha}f= D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}***D_{n}^{\alpha_{n}}f,[/mm]
> wobei
> [mm]D_{i}^{\alpha_{i}}=\underbrace{D_{i}***D_{i}}_{a_{i}-mal}.[/mm]
>
> Das ist so das, was ich mir als Definition rausgeschrieben
> habe.
Na also. ist dann $ [mm] \beta_{i}>\alpha_{i} [/mm] $ für $ [mm] i\in \{1,...,n\} [/mm] $ so differenziere
$ [mm] x^{\alpha} [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}} [/mm] $
[mm] \beta_i [/mm] - mal nach [mm] x_i. [/mm] Was passiert ?
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Also von der Logik her verstehe ich das ja. Wenn [mm] \beta_{i} [/mm] > [mm] \alpha_{i} [/mm] ist, dann ist es ja klar, dass die Ableitung 0 sein muss. Ich weiß nur nicht, wie ich das formulieren kann...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 15.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Seien n, m [mm] \in \IN, f(x)=x^n [/mm] und m>n.
Wie argumentierst Du, dass [mm] f^{(m)}(x)=0 [/mm] ist für alle x ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Keine Ahnung... Für mich ist das einfach logisch, deswegen wüsste ich gerade nicht, wie ich das zeigen kann... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mo 15.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Es gibt Ableitungsregeln. Da musst Du nur die passenden raussuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Also ich weiß natürlich, dass von [mm] x^{n} [/mm] die Ableitung [mm] n*x^{n-1} [/mm] ist, aber wie bringt mich das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 15.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Für welche n gilt das? Mit nur dieser Regel kommst Du nicht aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Das gilt für jedes [mm] n\in\IZ\backslash\{0\}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Alles gut! Ich hab es hinbekommen. Vielen Dank :)
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Hiho,
und zur a):
Mmach dir mal klar, dass du dir das auch wie folgt anschauen kannst:
Du hast k Punkte [mm] \cdots\cdots\cdots [/mm] und versuchst zwischen diese nun n Striche zu schieben.
Dann kann man die Anzahl an Punkten zwischen dem i-ten und (i+1)-ten Strich immer mit den Werten der [mm] $a_i$ [/mm] identifizieren.
Die Frage nach "Wie viele [mm] \alpha [/mm] mit [mm] |\alpha|=k [/mm] gibt es?" kann man also umformulieren zu "Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Striche zwischen (oder neben) k Punkte zu machen."
Und dazu kannst du gerne mal hier unter d) schauen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Dankeschön! :)
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