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Monotonieverhalten + Parameter: Habe ich das richtig gemacht?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 So 08.02.2009
Autor: Zirbe

Aufgabe
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Aufgabe:
f(x)= [mm] \bruch{1}{12}x^{3}-\bruch{k}{3}x^{2}+kx [/mm]
[mm] k\in \IR [/mm] ohne 0

Also ich habe das jetzt so gemacht, bin mir aber total unsicher, obs stimmt:

f´(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{2}{3}kx+k [/mm]
Das Ganze gleich Null gesetzt und dann die Diskriminante mit
D= [mm] \bruch{4}{9}k^{2}-k [/mm] gebildet.
[mm] k(\bruch{4}{9}k-1) [/mm]
[mm] k_{1}=0, k_{2}= \bruch{9}{4} [/mm]

Fallunterscheidung:
Für D < 0 keine Lösung
f´> 0 für [mm] k\in \IR [/mm] ohne 0
Gf streng monoton steigend für [mm] k\in \IR [/mm] ohne 0

Für D = 0       1 Lösung
[mm] x_{1/2} [/mm] = 0 (doppelte NST mit VZW)
f´ [mm] \ge [/mm] 0 für [mm] k\in \IR [/mm] ohne 0
Gf streng monoton steigend für [mm] k\in \IR [/mm] ohne 0

Für D > 0     2 Lösungen
einfache NST mit VZW
für [mm] x\le0 [/mm] = streng monoton steigend
für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{9}{4} [/mm] = streng monoton fallend
für [mm] x\ge \bruch{9}{4} [/mm] = streng monoton steigend

Ist das richtig?
Danke schon mal für Antworten :)

        
Bezug
Monotonieverhalten + Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 So 08.02.2009
Autor: leduart

Hallo
erstmal gehst du richtig vor. f' bilden und Diskr. ansehen.
wenn D<0 heisst das doch f' hat keine Nullstelle, also ist die fkt ueberall monoton. du kannst also f' an ner beliebigen Stelle ausrechnen und kennst das Vorzeichen.
Bei D= 0 wechselt hast du genau eine Stelle ,wo f'=0 sonst ueberall dasselbe Vorzeichen.
also auch fur alle x monoton.
D>0 du hast 2 Nullstellen.
aber jetzt hast du die Werte von k, fuer die die fkt nicht ueberall monoton ist. dann musst du erst suchen fuer welche x sie steigend, fuer welche x sie fallend ist.
Du springst ploetzlich von k auf x.
k gibt dir nur die Auskunft ob die fkt ueberall monoton ist oder nicht.
dann musst du die entspr Stuecke fuer x finden.
Gruss leduart

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