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Forum "Differentiation" - Monotonieverhalten
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Monotonieverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 So 25.01.2009
Autor: Englein89

Hallo,

wenn ich eine Kurvendiskussion mache und das Monotonieverhalten bestimmen soll.

Habe ich außer der Definition: [mm] f(x_1) [/mm] < oder > [mm] f(x_2) [/mm] eine Möglichkeit schnell auf das Monotonieverhalten zu schließen? War da nicht was mit den Ableitungen?

Danke fürs auf die Sprünge helfen :)

        
Bezug
Monotonieverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 So 25.01.2009
Autor: Steffi21

Hallo, als Beispiel die Funktion [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] hier kennst du ganz bestimmt das Monotonieverhalten, jetzt bilde die Ableitung, was passiert für x<0 bzw. x>0 mit der 1. Ableitung, dann sollte deine Frage beantwortet sein, Steffi

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Bezug
Monotonieverhalten: + konvex/konkav
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:40 So 25.01.2009
Autor: Englein89

Also reicht es, wenn ich die Ableitungen habe, die Intervalle zu suchen, wo die Ableitung größer bzw kleiner gleich 0 ist, oder?

Wie ist das bei der 2. Ableitung. Warum kann ich hier quasi wieder die Monotonie bestimmen, nur dass sie hier konvex (linksgekrümmt) bzw konkav (rechtsgekrümmt) heißt? Wenn ich für f'' größer/kleiner gleich 0 suche, aslso die Intervalle, sind das in der Regel andere Intervalle?

Und: Wieso hat die Funktion in [mm] x_0 [/mm] ein globales Minimum, wenn die Funktion konvex ist? Was stellt den Wert [mm] x_0 [/mm] da? Meint das die zweite Ableitung =0?

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Monotonieverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Mo 26.01.2009
Autor: Englein89


> Also reicht es, wenn ich die Ableitungen habe, die
> Intervalle zu suchen, wo die Ableitung größer bzw kleiner
> gleich 0 ist, oder?
>  
> Wie ist das bei der 2. Ableitung. Warum kann ich hier quasi
> wieder die Monotonie bestimmen, nur dass sie hier konvex
> (linksgekrümmt) bzw konkav (rechtsgekrümmt) heißt? Wenn ich
> für f'' größer/kleiner gleich 0 suche, aslso die
> Intervalle, sind das in der Regel andere Intervalle?
>  
> Und: Wieso hat die Funktion in [mm]x_0[/mm] ein globales Minimum,
> wenn die Funktion konvex ist? Was stellt den Wert [mm]x_0[/mm] da?
> Meint das die zweite Ableitung =0?

Ich versuchs nochmal :) Frage ist: Was sagt mir die Krümmung im Gegensatz zur Monotonie?

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Monotonieverhalten: Krümmung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mo 26.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Englein!


Die Krümmung sagt lediglich aus, in welche Richtung man den Fahrradlenker drehen muss, wenn man auf dem Funktionsgraphen mit dem Rad fährt.

Aus der Krümmung kannst Du nicht auf die Art der Monotonie folgern. Denn es gibt sowohl monoton fallende Kurven mit Linkskrümmung als auch monoton fallende Kurven mit Rechtskrümmung (und umgekehrt).


Gruß
Loddar


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Monotonieverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:22 Di 27.01.2009
Autor: felixf

Hallo

> Also reicht es, wenn ich die Ableitungen habe, die
> Intervalle zu suchen, wo die Ableitung größer bzw kleiner
> gleich 0 ist, oder?

Sie kann natuerlich auch noch gleich 0 sein. Das muss aber nicht schlimm sein: z.B. ist bei $f(x) = [mm] x^3$ [/mm] in $x = 0$ die Ableitung 0 (und sonst positiv), aber die Funktion ist trotzdem ueberall streng monoton steigend.



Allgemein gilt fuer eine differenzierbare Funktion:

Ableitung $> 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] streng monoton steigend
Ableitung [mm] $\ge [/mm] 0$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] monoton steigend
Ableitung [mm] $\le [/mm] 0$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] monoton fallend
Ableitung $< 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] streng monoton fallend

Bei den strengen Varianten gelten die Rueckrichtungen erstmal nicht, siehe das obige Gegenbeispiel.

LG Felix


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Monotonieverhalten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 27.01.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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