Monotonieverhalten < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Sa 09.09.2006 | | Autor: | kimnhi |
Hi ihr;)
Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht verstehe, wie sie zu diesem Lösungsweg gekommen sind;(
Ich hoffe ihr könnt mir das erklären!
Schon mal vielen Dank im voraus;)
Es ist folgende Funktion gegeben:
f(x)= [mm] -x^3+3x-2
[/mm]
Nun soll ich das Monotonieverhalten bestimmen, dabei ist folgende Lösung angegeben:
f`(x)= [mm] -3x^2+3 [/mm] =- 3 [mm] (x^2-1) [/mm] =-3 (x+1)(x-1)
Diesen Schritt verstehe ich ja noch ,da diese Funtion in Linearfaktoren zerteilt wurde.
Wie kommt man allerdings auf folgende Unterteilung?
Für x<-1 ist f`(x)<0, f also streng monoton fallend
Für -1< x < 1 ist f`(x) >0 , f also streng monoton wachsend
Für 1 < x ist f`(x) < 0 , f also streng monton fallend
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Hi kimnhi,
es gilt halt für jede Funktion:
Ist f'(x) > 0 auf [a,b], so ist f streng monoton wachsend auf [a,b]
(f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b], so ist f nur monoton wachsend)
Ist f'(x) < 0 auf [a,b], so ist f streng monoton fallend auf [a,b]
(für f'(x) [mm] \le [/mm] 0 auf [a,b] so ist f monoton fallend auf [a,b])
Ist f'(x) = 0 auf [a,b], so ist f auf [a,b] konstant.
Nun gucken wir uns mal deine Ableitung an:
[mm]f'(x) = -3 (x+1)(x-1) [/mm]
So, für [mm]x < -1[/mm] gilt:
[mm](x+1) < 0[/mm]
[mm](x-1) < 0[/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x) = -3 * (x+1) (x-1) < 0[/mm]
Für [mm]-1 < x < 1[/mm] gilt:
[mm](x+1) > 0[/mm]
[mm](x-1) < 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x) = -3 *(x+1) (x-1) > 0 [/mm]
für [mm]x > 1[/mm] kriegst du es nun hoffentlich alleine hin 
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 09.09.2006 | | Autor: | kimnhi |
erstmal vielen dank;)
aber könntest du mir das vielleicht noch mal anhand dieser Funktion erklären?
[mm] 3x^4 -12x^3+12x^2-3
[/mm]
Wäre echt sehr lieb von dir;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Sa 09.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo kimnhi
Du weisst doch, lernen kann man nur durch Selbermachen. Also rechne soweit du kommst, und sag dann, wo deine Schwierigkeit noch liegt. Wir rechnen nicht einfach Beispiele vor, denn eines hast du ja schon.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 10.09.2006 | | Autor: | kimnhi |
Ich habe jetzt mal versucht das Monotonieverhalten anhand der folgenden Funktion zu ermitteln:
[mm] f(x)=3^x4-12x^3+12x^2-3
[/mm]
Um das Monotonieverhalten untersuchen zu können, habe ich zunächst die Extremstellen ermittelt.
[mm] f`(x)=12x^3-36x^2+24x
[/mm]
Nach Ausklammern und der pq-Formel habe ich nun folgene Extremstellen raus:
x1=0, x2= 1 und x3=2
f`(x) habe ich nun in Linearfaktoren zerlegt, so dass gilt:
12x (x-1) (x-2)
Für x <0 ist f`(x) <0 . f also streng monton fallend
Für 0<x<1 ist f`(x)>0 , f also streng monton steigend
Für 1<x<2 ist f`(x)<0, f also streng monoton fallend
Für 2<x ist f`(x) >0 , f also streng monoton wachsend
Für das Krümmungsverhältnis habe ich nun folgendes gemacht:
f"(x) = [mm] 36x^2-72x+24
[/mm]
Als Wendepunkte habe ich: x1 = 1,577 und x2 = 0,423 rausbekommen
f"(x) habe ich wieder in Linearfaktoren zerlegt:
f"(x)= 36 (x-0,423) (x- 1,577)
Für x<0,423 ist f"(x) >0 also eine Linkskrümmung
Für 0,423<x<1,577 ist f" (x) <0 also eine Rechtskrümmung
Für 1,577<x ist f"(x) >0 also eine Linkskrümmung
Ich möchte nun wissen, ob ich es richtig gemacht habe?
Vielen Dank schon mal!;)
Und wie würde der Graph nun aussehen?Ich habe irgendwie ein total komischen Graphen raus;(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 So 10.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kim
Alles 100% richtig!
Warum die Zeichnung dir nicht passt weiss ich nicht. es Muss eine Art W geben, ziemlich steil links fallen, rechts steigend, beide Minima auf gleicher Höhe y=-3, Max bei (1,0)
Da dein steigungs und krümmungsverhalten richtig ist, kannst du den Rest überprüfen.
Gruss leduart
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