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Monotonieverhalten: Frage zur Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Sa 28.01.2006
Autor: Schaaafsmilch

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion

x²*LN x

Berechnen/Bestimmen sie:
- Definitionsbereich
- die Schnittpunkte der Achsen
- das Verhalten für x  [mm] \to \infty [/mm]
- das Monotonieverhalten
- das Krümmungsverhalten
- Extrem und Wendepunkte

Hallo zusammen,

bisher habe ich folgende Lösungen:

Definitionsbereich:  [mm] \IR [/mm] positiv

Schnittpunkte:

X-Achse:  x² * ln x=0
x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
x=1 <-- Schnittpunkt x-Achse

y-Achse:
x=0 <-- nicht im Definitionsbereich

Verhalten für x  [mm] \to \infty [/mm]

Für x  [mm] \to \infty [/mm] gilt f(x)  [mm] \to \infty [/mm]

Krümmungsverhalten:

Hier habe ich mein Problem. Ich bilde die erste Ableitung und will überprüfen wann diese größer oder kleiner Null ist. Doch leider schaffe ich das nicht.
Meine erste Ableitung ist:

f'(x)= 2x * ln x + x

Wie kann ich hier feststellen wann die Ableitungsfunktion größer oder kleiner Null ist?

Danke im vorraus.

Gruß Marcel

        
Bezug
Monotonieverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Sa 28.01.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

> Gegeben ist die Funktion
>  
> x²*LN x
>  
> Berechnen/Bestimmen sie:
> - Definitionsbereich
>  - die Schnittpunkte der Achsen
>  - das Verhalten für x  [mm]\to \infty[/mm]
>  - das
> Monotonieverhalten
>  - das Krümmungsverhalten
>  - Extrem und Wendepunkte
>  
> Hallo zusammen,
>  
> bisher habe ich folgende Lösungen:
>  
> Definitionsbereich:  [mm]\IR[/mm] positiv
>  
> Schnittpunkte:
>  
> X-Achse:  x² * ln x=0
>  x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
>  x=1 <-- Schnittpunkt x-Achse
>  
> y-Achse:
>  x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
>  
> Verhalten für x  [mm]\to \infty[/mm]
>  
> Für x  [mm]\to \infty[/mm] gilt f(x)  [mm]\to \infty[/mm]

[daumenhoch]

>  
> Krümmungsverhalten:
>  
> Hier habe ich mein Problem. Ich bilde die erste Ableitung
> und will überprüfen wann diese größer oder kleiner Null
> ist. Doch leider schaffe ich das nicht.
>  Meine erste Ableitung ist:
>  
> f'(x)= 2x * ln x + x
>  
> Wie kann ich hier feststellen wann die Ableitungsfunktion
> größer oder kleiner Null ist?

Das Krümmungsverhalten verändert sich ja nur, wenn die Funktion Wendepunkte hat. Dazu brauch man erst mal die ersten 3 Ableitungen und die Kriterien sind: 2. Ableitung=0 und dann 3. größer oder kleiner 0! Für die Extrema wird die 1. Ableitung benötigt, die du ja schon hast.

Ich rechne dir das mal kurz vor:

f'(x)=0=2x*ln(x)+x      
[mm] \gdw [/mm] -x=2x*ln(x)            da [mm] x\not=0, [/mm] dividieren wir durch 2x
[mm] \gdw [/mm] -0,5=ln(x)
[mm] \Rightarrow x=e^{-0,5}\approx [/mm] 0,6065

Für den Rest bildest du jetzt die weiteren Ableitungen und verfährst wie oben beschrieben!

>  
> Danke im vorraus.
>  
> Gruß Marcel

Viele Grüße
Daniel

Bezug
        
Bezug
Monotonieverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 28.01.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Schaaafsmilch,

> Gegeben ist die Funktion
>  
> x²*LN x
>  
> Berechnen/Bestimmen sie:
> - Definitionsbereich
>  - die Schnittpunkte der Achsen
>  - das Verhalten für x  [mm]\to \infty[/mm]
>  - das
> Monotonieverhalten
>  - das Krümmungsverhalten
>  - Extrem und Wendepunkte
>  
> Hallo zusammen,
>  
> bisher habe ich folgende Lösungen:
>  
> Definitionsbereich:  [mm]\IR[/mm] positiv

Richtig!

> Schnittpunkte:
>  
> X-Achse:  x² * ln x=0
>  x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
>  x=1 <-- Schnittpunkt x-Achse
>  
> y-Achse:
>  x=0 <-- nicht im Definitionsbereich
>  
> Verhalten für x  [mm]\to \infty[/mm]
>  
> Für x  [mm]\to \infty[/mm] gilt f(x)  [mm]\to \infty[/mm]

Richtig!
Allerdings wundert's mich, dass Du nicht auch x [mm] \to [/mm] 0 berechnen sollst (Ergebnis: f(x) [mm] \to [/mm] 0)

> Krümmungsverhalten:

Erst doch wohl das Monotonieverhalten, oder?!
    

> Hier habe ich mein Problem. Ich bilde die erste Ableitung
> und will überprüfen wann diese größer oder kleiner Null
> ist. Doch leider schaffe ich das nicht.
>  Meine erste Ableitung ist:
>  
> f'(x)= 2x * ln x + x
>  
> Wie kann ich hier feststellen wann die Ableitungsfunktion
> größer oder kleiner Null ist?

Womit Du eben - wie erwähnt - das Monotonieverhalten bestimmst!

Also: f'(x) = 2x*ln(x) + x = x*(2*ln(x)+1)

Ein Produkt ist > 0, wenn beide Faktoren >0 oder beide Faktoren <0 sind:
Da nun (wegen [mm] D_{f} [/mm] x bereits > 0 ist, muss auch die Klammer > 0 sein:

2*ln(x) +1 > 0  <=>  ln(x) > -0,5
Da der ln echt monoton steigt, folgt daraus: x > [mm] e^{-0,5} [/mm]

Demnach ist der Graph Deiner Funktion
echt monoton steigend im Intervall [  [mm] e^{-0,5} [/mm] ; [mm] +\jnfty [/mm] [,

echt monoton fallend im Intervall ] 0 ;  [mm] e^{-0,5} [/mm] ].

Achte dabei auf die Intervallgrenzen! Sobald eine Funktion an einer Stelle stetig ist, wie hier bei x = [mm] e^{-0,5}, [/mm] wird diese Stelle den Monotonieintervallen "angefügt".

Übrigens ergibt sich aus dem Monotonieverhalten auch, dass die Funktion bei x = [mm] e^{-0,5} [/mm] einen relativen (ja sogar absoluten!) Tiefpunkt aufweist.

Für das Krümmungsverhalten (und den Wendepunkt) benötigst Du nun die 2. Ableitung!

mfG!
Zwerglein


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