Monotonie und Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Do 14.07.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | [mm] g(x):=(\bruch{ln(x)}{x})^2 [/mm] für [mm] x\in(0,e^2] [/mm] |
Guten Tag ich soll das Teil auf Monotonie und Extrema untersuchen. Also kurzbeschreibung wie ich vorgegangen bin:
1.Ableitung
2.Ableitung=0
3.dann hab ich x=1 raus bekommen und x=e rausbekommen
4. Dann habe ich mir Links und Rechts neben den Nullstellen Werte rausgesucht, um auf Monotonie zu überprüfen, ich habe folgende Werte benutzt:
0,1(links Neben 1), 2(rechts Neben eins und links neben e) und 7 (rechts nebens e)
Dann hab ich insgesamt, dass die Funktion im Intervall (0,1) und [mm] (e,e^2) [/mm] streng monoton fallend ist und im Intervall (1,e) streng monoton wachsend.
Meine Extrema habe ich einen Minima bei 1 und ein Maxima bei e.
So jetzt kommt das eigendliche..mein Kumpel der schlaue Fuchs sagte mir, bei [mm] e^2 [/mm] wär auch noch ein Extrema....aber das Intevall ist doch an der Seite abgeschlossen und kann doch garkeine Werte größer [mm] e^2 [/mm] einsetzen oder? Und zum anderen habe ich bei [mm] e^2 [/mm] doch garkeine Nullstelle?
Bei [mm] e^2 [/mm] soll ein Minumum exestieren.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Do 14.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei [mm] e^{2} [/mm] leigt ein sogenanntes Randextrema vor, für die Globalen Maxima/Minima musst du noch die Ränder des Def-Bereiches betrachten.
Beispiel:
[mm] f(x)=x^{2} [/mm] hat ein absolutes Minimum mit y=0 (im Punkt O(0/0)) und ein Maximum von [mm] \infty, [/mm] denn es gilt:
[mm] \lim_{f\to\pm\infty}=\infty
[/mm]
Ein weiteres Beispiel:
[mm] f(x)=-x^{2}+4 [/mm] mit [mm] \ID=[-2;2]
[/mm]
Hier ist bei y=4 ein globales Maximum, und bei y=0=[f(-2)=f(2)] ein globales Minimum.
Ausserdem würde ich mir über die Monotonie nochmal Gedanken machen, wenn ich mir die gegebene Funktion mal ansehe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Fr 15.07.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Untersuche auf Monotonie und alle Lokalen Extrema!
[mm] g(x)=x^3*e^x-1 [/mm] |
Wa> Hallo
>
> Bei [mm]e^{2}[/mm] leigt ein sogenanntes Randextrema vor, für die
> Globalen Maxima/Minima musst du noch die Ränder des
> Def-Bereiches betrachten.
>
> Beispiel:
>
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] hat ein absolutes Minimum mit y=0 (im Punkt
> O(0/0)) und ein Maximum von [mm]\infty,[/mm] denn es gilt:
> [mm]\lim_{f\to\pm\infty}=\infty[/mm]
>
> Ein weiteres Beispiel:
>
> [mm]f(x)=-x^{2}+4[/mm] mit [mm]\ID=[-2;2][/mm]
>
> Hier ist bei y=4 ein globales Maximum, und bei
> y=0=[f(-2)=f(2)] ein globales Minimum.
>
> Ausserdem würde ich mir über die Monotonie nochmal
> Gedanken machen, wenn ich mir die gegebene Funktion mal
> ansehe.
Was meinst du damit
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Marius
>
Danke Marius für die ausführliche Antwort. Mal ne Frage zur obigen Aufgabe. Ich hab da als Nullstellen eine doppelte Nullstelle bei [mm] x_1=0 [/mm] raus und bei x=3 eine einfache.
So Monotonie ist links neben der -3 monoton fallend und recht daneben monoton wachsend also bei -3 liegt ein Minimum vor! Jetzt aber mal zur doppelten Nullstelle. Ich glaube ich habe in der Schule mal sowas gehört, dass bei einer doppelten Nullstelle oftmals ein Sattelpunkt vorliegt, oder? Nun hab mal auf Monotonie überprüft und links und rechts neben 0 ist sie monoton wachsend. Hab dann mal nachgeprüft und sieht wirklich wie nen Sattelpunkt aus. Dieser Sattelpunkt ist aber im engeren Sinne kein Extremum oder?
Vielen Dank!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
raus und bei x=3
