Monotonie einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche die Folge [mm] a_n=\bruch{10^{n}}{n!} [/mm] auf Monotonie (eventl. ab einem Index [mm] n_0)! [/mm] |
Herzliche Grüße an alle,
ich habe einige Glieder berechnet:
[mm] a_1=10
[/mm]
[mm] a_2=50
[/mm]
[mm] a_3=166,..
[/mm]
[mm] a_4=416,..
[/mm]
meine Vermutung, monoton steigend, also gilt [mm] a_n [/mm] < [mm] a_n_+_1
[/mm]
[mm] \bruch{10^{n}}{n!}< \bruch{10^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
1 < [mm] \bruch{10}{(n+1)}
[/mm]
n+1 < 10
n < 9
bedeutet das, bis zum 9. Glied steigend, dann fallen, das 9. und 10. Glied sind ja gleich, dann kommt im Zähler immer der Faktor 10 dazu, im Nenner der Faktor 11, 12, 13, u.s.w., durch die Fakultät, also müssen doch die Glieder wieder fallen???
Danke an Euch für Hinweise, Zwinkerlippe
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> Untersuche die Folge [mm]a_n=\bruch{10^{n}}{n!}[/mm] auf Monotonie
> (eventl. ab einem Index [mm]n_0)![/mm]
> Herzliche Grüße an alle,
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> ich habe einige Glieder berechnet:
>
> [mm]a_1=10[/mm]
> [mm]a_2=50[/mm]
> [mm]a_3=166,..[/mm]
> [mm]a_4=416,..[/mm]
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> meine Vermutung, monoton steigend, also gilt [mm]a_n[/mm] < [mm]a_n_+_1[/mm]
>
> [mm]\bruch{10^{n}}{n!}< \bruch{10^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
>
> 1 < [mm]\bruch{10}{(n+1)}[/mm]
>
> n+1 < 10
>
> n < 9
>
> bedeutet das, bis zum 9. Glied steigend, dann fallen, das
> 9. und 10. Glied sind ja gleich, dann kommt im Zähler immer
> der Faktor 10 dazu, im Nenner der Faktor 11, 12, 13,
> u.s.w., durch die Fakultät, also müssen doch die Glieder
> wieder fallen???
Es ist doch klar, was geschieht, wenn Du [mm]n[/mm] um 1 erhöhst:
[mm]a_{n+1}=\frac{10^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{10^n\cdot 10}{n!\cdot (n+1)}=a_n\cdot \frac{10}{n+1}[/mm]
In Worten: ja, sobald [mm]n+1[/mm] grösser als [mm]10[/mm] ist, fällt die Folge (und hört mit noch grössere werdendem [mm]n[/mm] natürlich nicht mehr auf zu fallen). Denn ab [mm]n=10[/mm] ist dieser Faktor [mm]\frac{10}{n+1}< 1[/mm]. Zusammenfassend könnte man somit sagen: von [mm]n=1[/mm] bis [mm]n=10[/mm] ist die Folge streng monoton wachsend, ab [mm]n=10[/mm] ist sie jedoch streng monoton fallend.
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Danke somebody, da waren meine Ideen doch garnicht so schlecht, Zwinkerlippe
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