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Monotonie bewerten: Tipp, Idee, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Sa 17.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aufgabe
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

(a) [mm] f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-cos(x) [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm] Zeigen Sie: [mm] f_{4} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] f_{4}(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm]

(b) [mm] f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-sin(x) [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm] Zeigen Sie: [mm] f_{5} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] f_{5}(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\in[0,\infty). [/mm]

Ich weis nicht ob die Ansätze stimmen bzw. ob das zum beweisen ausreicht ...

zu (a):
monoton wachsend ?
[mm] f_{4}'(x)=-x+\bruch{1}{6}x^{3}+sin(x)\ge0 [/mm]
Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht monoton wachsend ??

[mm] f_{4}(x)\ge0? [/mm]
[mm] f_{4}(0):=1-\bruch{0^{2}}{2}+\bruch{0^{4}}{24}-cos(0)=0,00015 [/mm]
Das ist [mm] \ge0 [/mm] also stimmt die Aussage??

zu(b):
monoton wachsend ?
[mm] f_{5}'(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{24}x^{4}-cos(x)\ge0 [/mm]
Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht monoton wachsend ??

[mm] f_{5}(x)\ge0? [/mm]
[mm] f_{5}(0):=-1 [/mm]
Das ist [mm] \le0 [/mm] also stimmt die Aussage nicht??


        
Bezug
Monotonie bewerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 So 18.05.2014
Autor: hippias


> Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
>  
> (a) [mm]f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-cos(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{4}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{4}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
>  
> (b) [mm]f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-sin(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{5}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{5}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
>  Ich weis nicht ob die Ansätze stimmen bzw. ob das zum
> beweisen ausreicht ...
>  
> zu (a):
>  monoton wachsend ?
>  [mm]f_{4}'(x)=-x+\bruch{1}{6}x^{3}+sin(x)\ge0[/mm]
>  Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht
> monoton wachsend ??
>  
> [mm]f_{4}(x)\ge0?[/mm]
>  
> [mm]f_{4}(0):=1-\bruch{0^{2}}{2}+\bruch{0^{4}}{24}-cos(0)=0,00015[/mm]
>  Das ist [mm]\ge0[/mm] also stimmt die Aussage??

Man sollte wissen, dass [mm] $\cos(0)=1$ [/mm] ist, und demnach [mm] $f_{4}(0)= [/mm] 0$ ist. Im uebrigen vermute ich, dass Du deinen Taschenrechner vermutlich nicht im Modus "Bogenmass" benutzt hast.

Zum Nachweis einer Allaussage (etwa: fuer alle [mm] $x\geq [/mm] 0$ gilt [mm] $f(x)\geq [/mm] 0$) musst Du auch alle $x$ untersuchen und nicht nur nach gutduenken einen Wert in die Funktion einsetzen. Jedoch wiederlegt ein Gegenbeispiel eine Allaussage.

>  
> zu(b):
>  monoton wachsend ?
>  
> [mm]f_{5}'(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{24}x^{4}-cos(x)\ge0[/mm]
>  Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht
> monoton wachsend ??
>  
> [mm]f_{5}(x)\ge0?[/mm]
>  [mm]f_{5}(0):=-1[/mm]
>  Das ist [mm]\le0[/mm] also stimmt die Aussage nicht??
>  


Bezug
                
Bezug
Monotonie bewerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 So 18.05.2014
Autor: DieAcht

Hallo hippias,


> Zum Nachweis einer Allaussage (etwa: fuer alle [mm]x\geq 0[/mm] gilt
> [mm]f(x)\geq 0[/mm]) musst Du auch alle [mm]x[/mm] untersuchen und nicht nur
> nach gutduenken einen Wert in die Funktion einsetzen.

Das ist hier wegen der Monotonie möglich. Es wird natürlich
nicht ein beliebiger x-Wert eingesetzt. ;-)

Falls du das genauer haben willst, dann sag ruhig bescheid.


Liebe Grüße
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Monotonie bewerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 So 18.05.2014
Autor: DieAcht

Hallo Kruemel,


> Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
>  
> (a) [mm]f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-cos(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{4}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{4}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
>  
> (b) [mm]f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-sin(x)[/mm]
> für [mm]x\in[0,\infty).[/mm] Zeigen Sie: [mm]f_{5}[/mm] ist monoton wachsend
> und [mm]f_{5}(x)\ge0[/mm] für [mm]x\in[0,\infty).[/mm]
>  Ich weis nicht ob die Ansätze stimmen bzw. ob das zum
> beweisen ausreicht ...
> zu (a):
>  monoton wachsend ?
>  [mm]f_{4}'(x)=-x+\bruch{1}{6}x^{3}+sin(x)\ge0[/mm]
>  Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt also ist die Funktion nicht monoton wachsend ??

Nein. Es gilt:

      [mm] $f_4'(1)>0$. [/mm]

Versuche erneut die Monotonie zu zeigen.

Tipp: Reihendarstellung.

> [mm]f_{4}(x)\ge0?[/mm]
>  
> [mm]f_{4}(0):=1-\bruch{0^{2}}{2}+\bruch{0^{4}}{24}-cos(0)=0,00015[/mm]

Der Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen macht keinen
Sinn. Es gilt:

      [mm] $\cos(0)=1$ [/mm]

      [mm] $\Rightarrow f_4(0)=0$. [/mm]

> Das ist [mm]\ge0[/mm] also stimmt die Aussage??

Ja, aber das musst du genauer erläutern. Die stetige Funktion

      [mm] f_{4}(x):=1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}}{24}-\cos(x) [/mm]

ist auf

      [mm] $I:=[0,\infty)$ [/mm]

monoton wachsend, sodass wegen

      [mm] $f_{4}(0)=0\ge [/mm] 0$

folgt

      [mm] $f_4(x)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$

und damit die Behauptung.

> zu(b):
>  monoton wachsend ?
>  
> [mm]f_{5}'(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{24}x^{4}-cos(x)\ge0[/mm]

Nein. Es gilt:

      [mm] f_{5}(x):=x-\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{5}}{120}-\sin(x) [/mm]

      [mm] \Rightarrow f_5'(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos(x). [/mm]

>  Dies ist ja aber nicht der fall, da wenn ich 1 einsetze
> eine negative Zahl rauskommt, also ist die Funktion nicht
> monoton wachsend ??

Nein. Es gilt:

      [mm] $f_{5}(1)>0$. [/mm]

> [mm]f_{5}(x)\ge0?[/mm]
> [mm]f_{5}(0):=-1[/mm]
>  Das ist [mm]\le0[/mm] also stimmt die Aussage nicht??

Siehe oben.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Monotonie bewerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 So 18.05.2014
Autor: Kruemel1008

Super, danke :D

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