Monotonie bei funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Do 21.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Wie ich eine folge auf monotonie und beschränktheit untersuche ist mir klar. leider weiß ich aber nicht was ich zu tun habe wenn ich eine funktion auf beides untersuchen soll.
kann mir jemand sagen wie ich vorzugehen habe?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 21.07.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo annaL,
die Monotonie von Funktionen kann man mit Hilfe der Ableitung untersuchen.
Ist [mm]f(x)[/mm] die Funktion, und ist [mm]f'(x)[/mm] die Ableitung, so gilt:
[mm]\forall x: \;\; f'(x) \leq 0 \Rightarrow[/mm] f ist monoton fallend
[mm]\forall x: \;\; f'(x) \geq 0 \Rightarrow[/mm] f ist monoton steigend
Die Untersuchung der Beschränktheit geht bei Funktionen genauso wie bei Folgen, glaub ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 21.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Das ist es ja genau. die Ableitung darf ich nicht benutzen.......
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Hallo annaL,
dann kannst du vielleicht einfach die Definitionen verwenden?:
Sei [mm]f[/mm] deine Funktion und [mm]D[/mm] ihr Definitionsbereich. Für beliebige [mm]x , y \in D[/mm] mit [mm]x < y[/mm] folgert man dann, dass [mm]f(x) \leq f(y)[/mm] gilt, dann ist f monoton steigend; bzw. man folgert [mm]f(x) \geq f(y)[/mm] und hat dann [mm]f[/mm] monoton fallend. Zeigt man [mm]<[/mm] bzw. [mm]>[/mm] anstatt [mm]\leq [/mm] bzw. [mm] \geq [/mm], so hat man sogar strenge Monotonie.
Beschränktheit hat man gezeigt, wenn man eine Konstante [mm] K [/mm] findet, so dass für alle [mm] x \in D [/mm] gilt: [mm] \left| f(x) \right| \leq K[/mm].
Gruss, Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Do 21.07.2005 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Danke für deine Hilfe! Aber wäre es möglich dass du mir einmal an einem Beispiel klar machen könntest wie ich vorzugehen habe?
Mit den Definitionen tue ich mich immer unheimlich schwer. Es ist viel viel einfacher zu verstehen wenn man einfach einmal ein Beispiel sehen kann......
DANKE FÜR DEINE MÜHE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Do 21.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
[mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
Behauptung: f(x) ist streng monoton steigend für x>0
0<x1<x2 ==>x2-x1>0 und x2+x1>0 damit [mm] (x2-x1)(x2+x1)=x2^{2}-x1^{2}>0
[/mm]
also folgt aus x1<x2 f(x1)<f(x2)
So nun versuch entsprechend f(x) monoton fallend für x<0!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Do 21.07.2005 | | Autor: | annaL |
Für x<0 müsste es dann wie folgt aussehen:
0> [mm] x_{1}> x_{2} [/mm] --> [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] <0 , und [mm] x_{2}+ x_{1}<0
[/mm]
damit:
( [mm] x_{2}- x_{1})( x_{2}+ x_{1}) [/mm] = [mm] x_{2}^2 [/mm] - [mm] x_{1}^2 [/mm] <0
--> [mm] x_{2}< x_{1} [/mm] , f( [mm] x_{2})
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Do 21.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Für x<0 müsste es dann wie folgt aussehen:
>
> 0> [mm]x_{1}> x_{2}[/mm] --> [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{1}[/mm] <0 , und [mm]x_{2}+ x_{1}<0[/mm]
>
> damit:
>
> ( [mm]x_{2}- x_{1})( x_{2}+ x_{1})[/mm] = [mm]x_{2}^2[/mm] - [mm]x_{1}^2[/mm] <0
Wenn man 2 neg Zahlen multipliziert passiert was??
> --> [mm]x_{2}< x_{1}[/mm] , f( [mm]x_{2})
Das hiesse die Funktion ist steigend!! Sag es langsam laut vor dich hin, dann siehst du es
Du bist zu automatisch ohne Nachdenken vorgegangen, indem du nur die Haken umgedreht hast! Ein bissel Denken spart viel Arbeit und nichts automatisch tun!
Gute Nacht, ich geh schlafen, wart nicht mehr auf ne Antwort! Vielleicht bist du auch einfach zuu müd!
Schlaf gut leduart
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