Monotonie, Schranken, Stetig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Ich hab immer wieder Probleme mit den Eigenschaften Monotonie, Beschänktheit und Stetigkeit.
Montonie ist noch relativ einfach erkennbar, wenn es sich um eine Funktion handelt. Ich bilde dann f'(x) und werte es entprechend aus. (Will ich jetzt nicht extra auflisten.) Wenn man z.B. eine rekursiv definierte Folge hat muss man etwas nachdenken, aber auch das klappt meist.
Die Stetigkeit ist ja so definiert, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ [/mm] sein müssen. Mein Problem ist nur immer zu sehen was jetzt genau das a ist. Bei einer Aufgabe die im Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] gestellt wurde ist $a [mm] \to [/mm] 0$ gewählt worden. Ist das also immer die unterste "Stelle" des Definitionsbereichs? Oder bringe ich da jetzt was durcheinander. Auch hab ich noch etwas Probleme beim Unterschied rechtsseitigem zu linksseitigem Grenzwert.
Bei der Beschränktheit sehe ich noch viel unklarer. Ich habe folgende Sätze aus dem Lehrbuch:
"Jede konvergente Folge ist beschränkt." und
"Jede in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist dort beschränkt."
Zumindest den zweiten Setz kann man ja beim offenen Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] schonmal nicht anwenden. Muss ich also die Konvergenz zeigen?
Was ich also suche ist erstmal ein "Kochrezept" für die Untersuchung Monotonie, Beschränktheit, Stetigkeit. Ich hab in mehreren Büchern nachgelesen und auch im Internet. Mittlerweile bin ich recht verwirrt und sehe nur noch zusammenhanglose Sätze. Vielleicht hat jemand einen guten Tip parat wie man möglichst schnell und einfach diese Eigenschaften bei einer Funktion nachweisen kann?
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn jemand sich die Zeit nehmen würde einige Worte dazu zu schreiben.
Gruß
Andreas
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Hallo!
> Montonie ist noch relativ einfach erkennbar, wenn es sich
> um eine Funktion handelt. Ich bilde dann f'(x) und werte es
> entprechend aus. (Will ich jetzt nicht extra auflisten.)
> Wenn man z.B. eine rekursiv definierte Folge hat muss man
> etwas nachdenken, aber auch das klappt meist.
Hast du dazu jetzt noch eine Frage? Oder ist dir das alles klar?
> Die Stetigkeit ist ja so definiert, dass der links- und
> rechtsseitige Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)[/mm]
> sein müssen. Mein Problem ist nur immer zu sehen was jetzt
> genau das a ist. Bei einer Aufgabe die im Intervall
> [mm][0,\infty)[/mm] gestellt wurde ist [mm]a \to 0[/mm] gewählt worden. Ist
> das also immer die unterste "Stelle" des
> Definitionsbereichs? Oder bringe ich da jetzt was
> durcheinander. Auch hab ich noch etwas Probleme beim
> Unterschied rechtsseitigem zu linksseitigem Grenzwert.
Also, ich weiß nicht, ob man das so allgemein sagen kann, was das a ist. Wenn du Funktionen auf [mm] \IR [/mm] hast, dann kannst du oft recht einfach sehen, an welcher Stelle die Funktion nicht definiert ist, also zum Beispiel bei der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}, [/mm] die ist für x=0 nicht definiert, also nehmen wir das als a. Und wenn wir jetzt den rechtsseitigen Grenzwert nehmen, dann heißt das, dass wir von rechts gegen diese Stelle gehen, also von der positiven x-Achse. Das heißt, wir nehmen zuerst große positive Werte, dann immer kleinere und noch kleinere, bis wir eben bei der 0 angekommen sind. (etwas bildlich ausgedrückt)
Beim linksseitigen Grenzwert kommen wir von links zur 0, das heißt, wir nehmen zuerst betragsmäßig große negative Zahlen, deren Betrag dann immer kleiner und kleiner wird (aber alles negative Zahlen) bis wir dann bei der 0 sind.
Ist das jetzt klarer?
Das andere soll mal lieber jemand anders beantworten...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Also, ich weiß nicht, ob man das so allgemein sagen kann,
> was das a ist. Wenn du Funktionen auf [mm]\IR[/mm] hast, dann kannst
> du oft recht einfach sehen, an welcher Stelle die Funktion
> nicht definiert ist, also zum Beispiel bei der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x},[/mm] die ist für x=0 nicht definiert, also
> nehmen wir das als a. Und wenn wir jetzt den rechtsseitigen
> Grenzwert nehmen, dann heißt das, dass wir von rechts gegen
> diese Stelle gehen, also von der positiven x-Achse. Das
> heißt, wir nehmen zuerst große positive Werte, dann immer
> kleinere und noch kleinere, bis wir eben bei der 0
> angekommen sind. (etwas bildlich ausgedrückt)
> Beim linksseitigen Grenzwert kommen wir von links zur 0,
> das heißt, wir nehmen zuerst betragsmäßig große negative
> Zahlen, deren Betrag dann immer kleiner und kleiner wird
> (aber alles negative Zahlen) bis wir dann bei der 0 sind.
> Ist das jetzt klarer?
Ja etwas. Also wäre für dein Beispiel von oben das Ergebnis so:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{1}{x}=\infty$
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^-}\bruch{1}{x}=-\infty$
[/mm]
Also wäre die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{1}{x}$ [/mm] nicht stetig, da links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden und ungleich dem Funktionswert von f(0) ist (Der ja nicht definiert ist). Man scheint also die Aussage treffen zu können, dass eine stetige Funktion an jeder Stelle definiert ist. Kann man das so sagen?
Ich bin dem Verständnis schon viel näher gekommen. Aber wie verhält es sich dann bei dieser Funktion mit der Stetigkeit:
[mm] $f(x)=\wurzel{x}$
[/mm]
Bei $f(x)$ sind ja nur Werte $x [mm] \ge [/mm] 0$ definiert. Ich muss also den rechtsseitigen Grenzwert davon betrachten:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\wurzel{x}=0$
[/mm]
Der linksseitige Grenzwert ist dann bei [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] nicht definiert.
Der Funktionswert von $f(0)$ ist zwar 0, aber da der linksseitige Grenzwert nicht definiert ist, ist die Funktion nicht stetig.
Ist das so richtig?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 29.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Andreas.
hast du wirklich aus der Vorlesung die Definition der Stetigkeit wie du sie aufgeschrieben hast?
und was bedeutet dann für dich [mm] \limes_{f(x)\rightarrow\a}=f(a) [/mm] ?
Erst mal ist eine Funktin an einer Stelle stetig, das ist dein a. oft kann man leicht beweisen, dass sie in einem ganzen Intervall stetig ist, dann ist a irgendein Wert aus dem Intervall! wenn eine Funktion links oder rechts von einem Punkt nicht definiert ist, ist das mit linksseitigem und rechtseitigen Grenzwert natürlich Unsinn. Wenn die Fkt wird immer NUR in ihrem Definitionsbereich untersucht.
an einem Punkt, an dem die Fkt. nicht existiert, kann sie auch nicht stetig sein.
Wenn sie auf einem Intervall stetig ist, dann muss sie da ja zwischen 2 Werten liegen, sonst wäre sie nicht stetig!, ist also beschränkt!
1/x ist in [a,x] a>0 stetig, also auch beschränkt. obere Schranke 1/a ,untere Schranke 1.In [0,1] nicht stetig und nicht beschränkt.
Ich hoffe, die Bemerkungen helfen was. Gut wär bei weiteren Fragen "eure" genaue Definition von Stetigkeit. Es schein mir nämlich, die hast du (illegal) abgekürzt!
Gruss leduart
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> Ich hoffe, die Bemerkungen helfen was. Gut wär bei
> weiteren Fragen "eure" genaue Definition von Stetigkeit. Es
> schein mir nämlich, die hast du (illegal) abgekürzt!
Also ich hab mich jetzt mal hingesetzt und nochmal alle Bücher zu diesem Thema gelesen die ich so da hatte. Zudem hab ich im Internet darüber nachgelesen. Dann hab ich den Übungsleiter noch etwas gelöchert und denke nun ich sehe etwas klarer beim Thema Stetigkeit und Schranken. Mein Verständnisproblem hat sich vorallem gelöst nachdem wir einige Kurvenverläufe betrachtet und analysiert haben. Vorher ist es mir echt schwer gefallen diese Eigenschaften richtig einzuordnen. Besonders die Beziehung dieser Eigenschaften untereinander war mir nicht ganz klar. Ich hab jetzt verschiedene Definitionen zusammengetragen. Ich kopiere die einfach mal hier hin....
Hm, blöd das Latex nicht direkt übernehmen geht. Musste einige Dinge abändern. Hoffe ich hab mich nirgends vertippt.
[mm] \textbf{Beschränktheit}
[/mm]
Eine Folge $( [mm] a_n [/mm] )$ heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn es ein K gibt,
so dass [mm] $a_n \leq [/mm] K$ (bzw. [mm] $a_n \geq [/mm] K$) gilt für alle n. Die Zahl K heißt
obere Schranke (bzw. untere Schranke von $( [mm] a_n [/mm] )$. Ist $( [mm] a_n [/mm] )$ nach oben
und nach unten beschränkt, so heißt die Folge beschränkt.
Supremum und Infimum sind als kleinste obere bzw. größte untere Schranke
erklärt.
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
[mm] \textbf{Stetigkeit}
[/mm]
Es sei f definiert im Intervall $[ a, b )$. Dann heißt A der rechtsseitige
Grenzwert von f in a, symbolisch: $A= [mm] \limes_{x\rightarrow a^+} [/mm] f(x)$. Ist f in $[ c, a )$ definiert, dann ist A der linksseitige Grenzwert
von f in a, symbolisch: $A= [mm] \limes_{x\rightarrow a^-} [/mm] f(x)$
Es sei $a [mm] \in [/mm] D ( f )$. Es heißt f stetig an der Stelle a, wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x)$ existiert und gleich f(a) ist.
Ist f stetig für jedes $a [mm] \in [/mm] D$, so heißt f stetig auf D.
In Analogie zum rechtsseitigen (linksseitigen) Grenzwert spricht man auch
von rechtsseitiger bzw. linksseitiger Stetigkeit von f in a, wenn
[mm] $\limes_{x\rightarrow a^+} [/mm] f(x) = f ( a )$ bzw. [mm] $\limes_{x\rightarrow a^-} [/mm] f(x) = f ( a )$.
Jede in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist dort
beschränkt.
[mm] \textbf{Satz von Weierstraß}
[/mm]
Ist f auf dem Intervall $[ a, b ]$ stetig, so gibt es Punkte $c, d [mm] \in [/mm] [ a,
b ]$ mit der folgenden Eigenschaft:
$f ( c ) [mm] \leq [/mm] f ( x ) [mm] \leq [/mm] f ( d )$für alle $x [mm] \in [/mm] [ a, b ] .$
Nach dem Satz von Weriserstraß ist jede auf dem (abgeschlossenen) Intervall
$[ a, b ]$ stetig Funktion auf diesem Intervall beschränkt; ferner gibt es
Punkte des Intervalls, an denen das Minimum bzw. das Maximum von f exolizit
angenommen wird.
[mm] \textbf{Zwischenwertsatz}
[/mm]
Eine auf dem Intervall $[ a, b ]$ stetige Funktion f nimmt jeden Wert C
zwischen f(a) unf f(b) an, d.h. es gibt mindestens ein $x [mm] \in [/mm] [ a, b ]$ mit
f(x)=C.
Nach dem Zwischenwertsatz 'überspringt' f also keinen Wert zwischen f(a) und
f(b).
[mm] \textbf{Aussage über Nullstellen}
[/mm]
Aus dem Zwischenwertsatz folgt unmittelbar der folgender Spezialfall. Wenn f
stetig in $[ a, b ]$ sowie $f ( a ) < 0$ und $f ( b ) > 0$ (oder umgekehrt),
dann gibt es in $[ a, b ]$ ein c mit $f ( c ) = 0$, d.h. f hat in $[ a, b ]$
mindestens eine Nullstelle.
Die Umkehrung des Zwischenwertsatzes gilt allerdings nicht, d.h. eine Funktion
f kann durchaus die Zwischenwerteigenschaft haben, ohne stetig zu sein.
Dagegen gilt die Umkehrung für monotone Funktionen:
Eine auf $[ a, b ]$ monotone Funktion, die die Zwischenwerteigenschaft
besitzt, ist dort stetig.
Eine auf einem Intervall stetige Funktion f besitzt genau dann eine
Umkehrfunktion (d.h. ist injektiv), wenn sie streng monoton ist. Die
Umkehrfunktion von f ist dann ebenfalls stetig.
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 02.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Andreas
Deine Zusammenstellung ist gut und nützlich. Nur mit deiner Stetigkeitsdefinition umzugehen wird i.A. schwer sein. denn du musst immer auf die lim Definition zurückgreifen. Und die hast du nicht zitiert. Genau muss es heißen: für JEDE Folge [mm] x_{n}\varepsilon [/mm] Defgeb. mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x\{n}=a [/mm] muss gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}) [/mm] = f(a). und damit kann man Unstetigkeit leicht beweisen indem man eine Folge findet, für die das nicht stimmt. Aber der Stetigkeitsbeweis geht meist viel einfacher mit der [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition der Stetigkeit. Habt ihr die nicht besprochen? Oder in einem deiner Bücher gelesen?
Damit man Stetigkeit wirklich versteht, und sich nicht einfach nur glatte Kurven vorstellt sollte man auch stetige Kurven kennen, die man etwa nicht mehr zeichnen kann, Bsp siehe ![[]](/images/popup.gif) überall stetig
guck dir das mal an, falls du es nicht kennst.
Gruss leduart
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> Aber der
> Stetigkeitsbeweis geht meist viel einfacher mit der
> [mm]\epsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition der Stetigkeit. Habt ihr die
> nicht besprochen? Oder in einem deiner Bücher gelesen?
Hm, ich hab extra nochmal nachgeschlagen, aber darüber kann ich nix finden. Hat diese Definition einen Namen damit ich im Netz danach suchen kann? Oder kennst du einen Link dazu?
> Damit man Stetigkeit wirklich versteht, und sich nicht
> einfach nur glatte Kurven vorstellt sollte man auch stetige
> Kurven kennen, die man etwa nicht mehr zeichnen kann, Bsp
> siehe überall stetig
>
> guck dir das mal an, falls du es nicht kennst.
Ich hab diese Sachen schonmal gesehen, aber wusste nicht wie es funktioniert. Die Theorie dahinter hab ich jetzt nicht komplett gelesen, aber die Erzeugung scheint ja sehr einfach zu sein.
Gruß
Andreas
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Hi, Andreas,
da bin ich noch mal!
Ich bin nicht der Ansicht, dass die [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition den Beweis der Stetigkeit in den wirklich interessanten Fällen (also nicht ganzrationale Funktionen oder sowas, sondern gebrochen-rationale, trigonometrische, Exponential-, Logarithmus-, Arcusfuktionen, etc.) "erleichtert"!
Nicht umsonst wurde diese Definition aus den meisten Lehrplänen höherer Schulen wieder gestrichen!
Schau lieber, dass Du die "3-Werte-Methode" (der Name stammt von mir!) beherrscht! Die meisten Grenzwerte sind nämlich "reine Formsache", Funktionswerte sowieso. Einfacher kriegst Du's bestimmt nicht gebacken!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Andreas,
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{1}{x}=\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^-}\bruch{1}{x}=-\infty[/mm]
>
> Also wäre die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] nicht stetig, da
> links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden und
> ungleich dem Funktionswert von f(0) ist (Der ja nicht
> definiert ist). Man scheint also die Aussage treffen zu
> können, dass eine stetige Funktion an jeder Stelle
> definiert ist. Kann man das so sagen?
Umgekehrt: Nach "Stetigkeit" an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] zu fragen, ist nur dann sinnvoll, wenn die Stelle [mm] x_{0} [/mm] zur Definitionsmenge der Funktion dazugehört! Dass also der Funktionswert [mm] f(x_{0}) [/mm] existiert ist GRUNDVORAUSSETZUNG der Stetigkeit. Gibt's diesen Wert nicht, brauchst Du Dir irgendwelche Grenzwerte gar nicht erst anzusehen!
Die Sache mit den Rändern der Definitionsmenge ist übrigens ein Sonderfall. Ob die Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] mit [mm] D_{f} [/mm] = [0; [mm] +\infty [/mm] [ bei [mm] x_{0} [/mm] =0 stetig ist, hängt ein bisschen von der Definition ab. Streng genommen ist sie dort nur "rechtsseitig stetig", weil der linksseitige Grenzwert nicht existiert. Sehr viele Autoren aber nehmen solche Fälle aber zur echten Stetigkeit einfach dazu.
Interessant ist die Stetigkeit vor allem bei abschnittsweise definierten Funktionen, z.B.:
f(x) = [mm] \begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge1 \\ x, & \mbox{für }x < 1 \end{cases}
[/mm]
Hier ist:
f(1) = 1;
[mm] \limes_{x\rightarrow1; x>1}x^{2} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow1; x<1}x [/mm] = 1.
Demnach: Dreimal derselbe Wert; daher stetig bei x=1.
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