Monotonie, Schranken,Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a\cap [/mm] = [mm] 3-6\cap [/mm] / [mm] 1+2\cap
[/mm]
Untersuche die Zahlenfolge jeweils auf Monotonie, gib sofern vorhanden die kleinste obere und die größte untere Schranke an und bestimme ggf. den Grenzwert. |
Guten Abend zusammen,
könnte mir einer von euch vll kurz bei dieser Aufgabe helfen? Ich bräuchte mal einen genauen Lösungsweg dieser Aufgabe. Die Ergebnisse hab ich zwar aber keinen Lösungsweg. Könnte mir das evt. jemand mal vorrechnen mit den Überlegungen? Das wäre sehr nett da ich bald wieder eine Klausur schreibe.
Und noch was: Hat jemand von euch vll eine Buchempfehlung in dem solche AUfgaben mit genauen Lösungswegen vorkommt für die 12 Klasse Gymnasium? Vll auch eine Internetseite???
Schönen Abend noch.....
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marcellusw,
> [mm]a\cap[/mm] = [mm]3-6\cap[/mm] / [mm]1+2\cap[/mm]
>
leider kann ich hier keine Folge oder so erkennen, was soll denn das Zeichen [mm] $\cap$ [/mm] bedeuten?
> Untersuche die Zahlenfolge jeweils auf Monotonie, gib
> sofern vorhanden die kleinste obere und die größte untere
> Schranke an und bestimme ggf. den Grenzwert.
> Guten Abend zusammen,
> könnte mir einer von euch vll kurz bei dieser Aufgabe
> helfen? Ich bräuchte mal einen genauen Lösungsweg dieser
> Aufgabe. Die Ergebnisse hab ich zwar aber keinen
> Lösungsweg. Könnte mir das evt. jemand mal vorrechnen mit
> den Überlegungen? Das wäre sehr nett da ich bald wieder
> eine Klausur schreibe.
>
> Und noch was: Hat jemand von euch vll eine Buchempfehlung
> in dem solche AUfgaben mit genauen Lösungswegen vorkommt
> für die 12 Klasse Gymnasium? Vll auch eine
> Internetseite???vielleicht: ![[]](/images/popup.gif) hier
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Di 31.10.2006 | | Autor: | Marcellusw |
das [mm] \cap [/mm] soll ein n sein ....
sorry ich kenn mich mit diesem System noch nicht so aus.....
mit dem / mein ich geteilt durch=)
MFG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Marcellusw |
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Hallo Marcellusw,
[mm]a_n=\frac{3-6n}{1+2n}[/mm]
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> Untersuche die Zahlenfolge jeweils auf Monotonie, gib
> sofern vorhanden die kleinste obere und die größte untere
> Schranke an und bestimme ggf. den Grenzwert.
> Guten Abend zusammen,
> könnte mir einer von euch vll kurz bei dieser Aufgabe
> helfen? Ich bräuchte mal einen genauen Lösungsweg dieser
> Aufgabe. Die Ergebnisse hab ich zwar aber keinen
> Lösungsweg. Könnte mir das evt. jemand mal vorrechnen mit
> den Überlegungen? Das wäre sehr nett da ich bald wieder
> eine Klausur schreibe.
Schreib doch zunächst mal einige Werte der Folge auf, damit du ein Gefühl dafür bekommst.
Monotonie: es muss gelten: [mm] a_na_{n+1} [/mm] ; das kannst du prüfen.
Grenzwert: nähern sich die Folgenglieder für große n einem bestimmten Wert?
Habt Ihr dafür schon ein Verfahren gelernt?
Gruß informix
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Hi danke schonmal für deine Mühe
Also wegen der Monotonie hab ich so angefangen:
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_n_+_1
[/mm]
[mm] 3-6_n [/mm] / [mm] 1+2_n [/mm] < [mm] 3-6_n_+_1 [/mm] / [mm] 1+2_n_+_1
[/mm]
3 ( [mm] 1-2_n) [/mm] / [mm] 1+2_n [/mm] < [mm] 3(1-2_n_+_1) [/mm] / [mm] 1+2_n_+_1
[/mm]
irgendwie glaub ich das hier was falsch ist, aber was?
Und wegen dem Verfahren? Kann es sein das du ein Induktionsverfahren meinst?Das haben wir nämlich noch nicht =)
MFG
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Hallo zusammen
Ich hab die Aufgabe nochmal gerechnet und hab auch ein Ergebnis=)
Meinen Rechnungen zufolge ist die Folge streng monoton fallen
da hatte ich zum Schluss raus
-2 ( 1 + n ) / 1 + 3n und das ist ja kleiner als 0 und deswegen streng monoton fallen.....stimmt das???
Nun noch eine Frage kann ich die Beschränktheit mit einem Graph indem ich die Folge eingezeichnet hab bestimmen oder muss ich die Schranken rechnerisch bestimmen???
MFG und schönen Tag
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Marcellusw,
> Hallo zusammen
>
> Ich hab die Aufgabe nochmal gerechnet und hab auch ein
> Ergebnis=)
>
> Meinen Rechnungen zufolge ist die Folge streng monoton
> fallen
Das ist richtig
>
> da hatte ich zum Schluss raus
>
> -2 ( 1 + n ) / 1 + 3n
Wie kommst du an dieses Ergebnis?
Ich gehe mal davon aus, dass Informix mit ihrer Interpretation deiner Folge recht hat.
$ [mm] a_n=\frac{3-6n}{1+2n} [/mm] $
Dann ist
$ [mm] a_{n+1}=\frac{3-6(n+1)}{1+2(n+1)} [/mm] = [mm] \frac{-3-6n}{3+2n} [/mm] $
Wenn ich richtig interpretiere, hast du nun $ [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] $ berechnet. Aber da sollte das Ergebnis anders aussehen.
> und das ist ja kleiner als 0 und
> deswegen streng monoton fallen.....stimmt das???
Vorausgesetzt, meine Interpretation ist richtig, dann stimmt diese Schlussfolgerung, aber wie gesagt der Term sollte anders aussehen.
>
>
> Nun noch eine Frage kann ich die Beschränktheit mit einem
> Graph indem ich die Folge eingezeichnet hab bestimmen oder
> muss ich die Schranken rechnerisch bestimmen???
Über den Graphen kannst du eine Vermutung bekommen, aber die solltest du noch rechnerisch beweisen.
Gruß
Sigrid
>
> MFG und schönen Tag
Danke
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Hi danke für deine Antwort=)
Wie kann ich denn rechnerisch eine Schranke nachweisen??? Ich hab das bis jetzt immer nur mit einem Graph gemacht. Wie gestaltest du deine Rechnung damit du einen Beweis dafür bekommst????Danke schonmal für deine Hilfe...
MFG
PS: Deine Interpretation war übrigens richtig;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Marcellusw,
> Wie kann ich denn rechnerisch eine Schranke nachweisen???
> Ich hab das bis jetzt immer nur mit einem Graph gemacht.
Vielleicht reicht das eurem Lehrer auch. Es hängt vom Unterricht ab, ob ihr einen formalen Beweis durchführen sollt oder eine geometrische Überlegung.
> Wie gestaltest du deine Rechnung damit du einen Beweis
> dafür bekommst????Danke schonmal für deine Hilfe...
Nimm deine Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{3-6n}{1+2n} [/mm] $
Du weißt, dass die Folge streng monoton fallend ist, also ist das erste Gleid der Folge die kleinste obere Schranke.
Dass -3 eine untere Schranke ist, kannst du z.B. zeigen, indem du nachweist, dass
$ [mm] a_n [/mm] > -3 $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $
oder gleichbedeutend
$ [mm] a_n [/mm] + 3 > 0 $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $
Hier sollst du allerdings die größte untere Schranke angeben. Das ist in diesem Fall, da die Folge streng monoton fallend und beschränkt ist, der Grenzwert, also -3.
Wie habt ihr im Unterricht den Grenzwert berechnet? Das war, wenn ich das noch richtig im Kopf habe, auch die Frage von Informix.
Gruß
Sigrid
>
> MFG
>
> PS: Deine Interpretation war übrigens richtig;)
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Hi ich komm da wirklich nicht drauf wie das ergebniss lautet bei dem Monotonienachweis. Ich habe
$ [mm] a_n_+_1 [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $ = 4 - $ [mm] 6_n [/mm] $ / $ [mm] 2+2_n [/mm] $ - $ [mm] 3-6_n [/mm] $ / $ [mm] 1+2_n [/mm] $
das ist mein Ansatz =)
/ soll ein Bruchstrich darstellen
Den Grenzwert haben wir mit lim ausgerechnet aber da haben wir vor den Ferien nur kurz mit angefangen aber mich würde interessieren wie das geht...
Und ich hab gerade mal nachgefragt wie müssen einen rechnerischen Beweis für Scharanken machen aber wie geht der???
Sorry das ich wieder so viele Fragen stelle aber ich komm so nicht weiter aber ich will die Aufgabe machen....
Danke für euer Verständnis
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Do 02.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Marcellusw,
> Hi ich komm da wirklich nicht drauf wie das ergebniss
> lautet bei dem Monotonienachweis. Ich habe
>
> [mm]a_n_+_1[/mm] - [mm]a_n[/mm] = 4 - [mm]6_n[/mm] / [mm]2+2_n[/mm] - [mm]3-6_n[/mm] / [mm]1+2_n[/mm]
>
> das ist mein Ansatz =)
>
> / soll ein Bruchstrich darstellen
Dein [mm] A_{n+1} [/mm] ist falsch. Du musst n+1 an die Stelle von n setzen. Achte dabei auf die Klammer, also:
$ [mm] a_n=\frac{3-6n}{1+2n} [/mm] $
Dann ist
$ [mm] a_{n+1}=\frac{3-6(n+1)}{1+2(n+1)} [/mm] = [mm] \frac{-3-6n}{3+2n} [/mm] $
>
> Den Grenzwert haben wir mit lim ausgerechnet aber da haben
> wir vor den Ferien nur kurz mit angefangen aber mich würde
> interessieren wie das geht...
Das hängt von eurem Unterricht ab. Es gibt verschiedene Verfahren. Vielleicht beschreibst du mal kurz, was ihr im Unterricht dazu gemacht habt.
>
> Und ich hab gerade mal nachgefragt wie müssen einen
> rechnerischen Beweis für Scharanken machen aber wie geht
> der???
Nehmen wir nochmal deine Folge
$ [mm] a_n=\frac{3-6n}{1+2n} [/mm] $
Du willst nachweisen, dass z.B. -5 eine untere Schranke ist (die größte untere Schranke ist hier -3. Damit kannst du es ja auch probieren.
Du musst nun zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
$ [mm] \frac{3-6n}{1+2n} \ge [/mm] -5 $
stattdessen kannst du auch zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
$ [mm] \frac{3-6n}{1+2n} [/mm] + 5 [mm] \ge [/mm] 0 $
Also die linke Seite gleichnamig machen, zusammenfassen und schauen, ob das Ergebnis für alle n größer oder gleich 0 ist.
Versuch's mal.
>
>
> Sorry das ich wieder so viele Fragen stelle aber ich komm
> so nicht weiter aber ich will die Aufgabe machen....
Mach dir da keine Gedanken. Frage, bis du es verstanden hast.
Gruß
Sigrid
>
> Danke für euer Verständnis
>
> MFG
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Hi danke das du dir dafür soviel Zeit nimmst=)
Also ich hab deinen Rat befolgt ( danke das du mir meinen Fehler gezeigt hast ) und hab es nun ausgerechnet.
1)Für die Beschränktheit kam bei meiner Rechnung heraus
4 [mm] \ge [/mm] 0
Nur was sagt mir das jetzt?
Aber dazu hätte ich wieder mal eine Frage: Wieso hast du gerade die Zahl 5 genommen? Nach welchen Kriterien hast du diese Zahl gewählt?
2) Bei dem Monotnienachweis
habe ich
[mm] a_n_+_1 [/mm] - [mm] a_n [/mm] ausgerechnet und zum Schluss kam bei mir dann
-12 / 3+8n+4n² heraus
das ja auf streng monoton fallend deutet.Reicht das als Antwort und hab ich damit die Monotonie nachgewiesen oder muss ich noch etwas machen?bzw stimmt überhaupt mein Ergebnis? =)
3) Für den Grenzwert haben wir bis jetzt eine Formel gelernt . Die lautet
| [mm] a_n [/mm] - g | < [mm] \varepsilon [/mm]
Kannst du damit vll etwas anfangen?
Vielen Dank nochmal und schönen Tag noch....
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Marcellusw,
> Hi danke das du dir dafür soviel Zeit nimmst=)
>
> Also ich hab deinen Rat befolgt ( danke das du mir meinen
> Fehler gezeigt hast ) und hab es nun ausgerechnet.
>
> 1)Für die Beschränktheit kam bei meiner Rechnung heraus
>
> 4 [mm]\ge[/mm] 0
Wie hast du das gerechnet?
>
> Nur was sagt mir das jetzt?
Wenn du eine Ungleichung äquivalent umformst und dabei eine Ungleichung erhälst, die für alle natürlichen Zahlen erfüllt ist (4 [mm]\ge[/mm] 0 wäre eine solche), dann ist auch die Ausgangsungleichung für alle natürlichen Zahlen erfüllt.
>
> Aber dazu hätte ich wieder mal eine Frage: Wieso hast du
> gerade die Zahl 5 genommen? Nach welchen Kriterien hast du
> diese Zahl gewählt?
Das bekommst du z.B. durch eine Zeichnung. Die größte Zahl, mit der deine Rechnung funktioniert, ist -3.
>
> 2) Bei dem Monotnienachweis
>
> habe ich
>
> [mm]a_n_+_1[/mm] - [mm]a_n[/mm] ausgerechnet und zum Schluss kam bei mir
> dann
>
> -12 / 3+8n+4n² heraus
>
> das ja auf streng monoton fallend deutet.Reicht das als
> Antwort und hab ich damit die Monotonie nachgewiesen oder
> muss ich noch etwas machen?bzw stimmt überhaupt mein
> Ergebnis? =)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau. Der Bruch ist für alle natürlichen Zahlen negativ, also ist auch $ [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] für alle natürlichen Zahlen negativ.
Hinweis: Du brauchst den Nenner nicht unbedingt auszurechnen.
>
> 3) Für den Grenzwert haben wir bis jetzt eine Formel
> gelernt . Die lautet
>
>
> | [mm]a_n[/mm] - g | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Kannst du damit vll etwas anfangen?
Das ist ein Teil der Definition für den Grenzwert. Die genaue Definition ist:
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge [mm] a_n, [/mm] wenn es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle n > N gilt:
[mm] |a_n - g | < \varepsilon[/mm]
Da du geschrieben hast, dass ihr damit gerade erst angefangen habt, würde ich sagen, warte erst mal, welche Rechnungeen ihr explizit durchführt. Häufig wird in Schulen nur mit konkreten $ [mm] \varepsilon [/mm] $-Werten gerechnet. Vielleicht geht ihr auch schnell zu den Grenzwertsätzen über.
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Marcellusw |
Hi
Danke das du dir die Zeit genommen hast und ich das mit der Monotonie jetzt endlich begriffen habe =)
die Beschränktheit hab ich so ausgerechnet:
$ [mm] \frac{3-6n}{1+2n} [/mm] + 5 [mm] \ge [/mm] 0 $
diese rechnung hab ich dann auf den gleichen Hauptnenner gebracht und ausgerechnet und da kam bei mir dann
(habs grad nochmal nachgerechnet^^ )
jetzt kommt raus : [mm] 8+4_n [/mm] / [mm] 1+2_n \ge [/mm] 0
Das müsste eigentlich richtig sein =)
Schönen Tag noch.........
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Marcellusw,
Jetzt stimmt's
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Marcellusw |
Also dann nochmal vielen Dank du hast mir sehr geholfen.....
Find ich klasse das du Leuten einfach so hilfst ( also auch alle anderen hier im Forum) =)
schönes Wochenende
MFG
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