Monotonie, Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] a_{n+1} [/mm] = 3 - [mm] 2/a_n
[/mm]
mit [mm] a_0 [/mm] = 5
Zeige die Monotonie [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n [/mm] mittels Induktion. |
Zuerst habe ich ausgerechnet die Beschränktheit (da das ein Punkt in der aufgabe war)
[mm] a_n [/mm] > 2
Nun zz.: [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n
[/mm]
I.Anfang [mm] a_1 [/mm] = [mm] \frac{13}{3} [/mm] < [mm] a_0 [/mm] = 5
I.Annahme [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n-1}
[/mm]
I.Schritt n -> n+1
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = 3 - [mm] \frac{2}{a_n} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3a_n - 2 - a_n^2}{a_n}
[/mm]
Der Nenner > 0
Ich komme da nicht weiter.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_{n+1}[/mm] = 3 - [mm]2/a_n[/mm]
> mit [mm]a_0[/mm] = 5
>
> Zeige die Monotonie [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_n[/mm] mittels Induktion.
> Zuerst habe ich ausgerechnet die Beschränktheit (da das
> ein Punkt in der aufgabe war)
> [mm]a_n[/mm] > 2
>
> Nun zz.: [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_n[/mm]
> I.Anfang [mm]a_1[/mm] = [mm]\frac{13}{3}[/mm] < [mm]a_0[/mm] = 5
> I.Annahme [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n-1}[/mm]
> I.Schritt n -> n+1
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = 3 - [mm]\frac{2}{a_n}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{3a_n - 2 - a_n^2}{a_n}[/mm]
>
> Der Nenner > 0
> Ich komme da nicht weiter.
Na ja, dann mußt Du zeigen, dass der Zähler < 0 ist, dass also [mm] a_n^2-3a_n+2> [/mm] 0 ist für jedes n.
Da Du schon gezeigt hast, dass [mm] a_n [/mm] stets > 2 ist, mußt Du Dir noch überlegen, dass [mm] f(x):=x^2-3x+2 [/mm] immer >0 ist, wenn x> 2 ist.
FRED
>
> Mfg
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Jap weil [mm] a_n^2 [/mm] > [mm] 3a_n
[/mm]
bei [mm] a_n [/mm] > 2
Das ist mir intuitiv klar,Muss man da noch was beweisen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Jap weil [mm]a_n^2[/mm] > [mm]3a_n[/mm]
Na, na, na .... Für positives [mm] a_n [/mm] ist [mm]a_n^2[/mm] > [mm]3a_n[/mm] gleichbedeutend mit [mm] a_n [/mm] > 3 !!!!
> bei [mm]a_n[/mm] > 2
> Das ist mir intuitiv klar,
Manchmal sind einem Sachen klar, die gar nicht stimmen ... (s.o.)
> Muss man da noch was beweisen?
Es ist [mm] x^2-3x+2=(x-2)(x-1).
[/mm]
Wenn x>2 ist, so ist also x-2>0 und x-1>0, somit ist [mm] x^2-3x+2=(x-2)(x-1)>0
[/mm]
FRED
>
> LG
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