Monotonie, Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Di 06.05.2008 | | Autor: | JulianK |
| Aufgabe | Sind diese Folgen monoton und beschränkt?
a) a(n) = (2n³ - 4n² + 1) / n³
b) b(n) = (n + 100/n)
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Hallo, meine Lösungsidee:
a) Monotonie:
a(n+1) / a(n)
= 2(n+1)³-4(n+1)²+1 / (n+1)³
= (2n³+2n²-2n-1)*n³ / (n³+3n²+3n+1)*(2n³-4n²+1)
= [mm] 2n^6+2n^5-2n^4-n³ [/mm] / [mm] 2n^6+2n^5-6n^4-9n³-n²+3n+1
[/mm]
Das ist eigentlich <=1, d. h. monton fallend, wenn ich mir allerdings die Folge als Funktion betrachte und mir den Graph zeichen lassen, dann erhalte ich eine monoton wachsende Funktion im Bereich ab 1 bis unendlich. Wo ist der Fehler?
Beschränktheit: untere S. = -1, obere S. = 2
--> konvergent
b) Monotonie:
b(n+1) / b(n)
= (n+1)+(100/(n+1) / n+100/n
= n³ + 2n²+101n / n³+n²+100n+100
Das ist <= 1, also monoton fallend.
Beschränktheit: untere S. = 1, obere S. = ex. nicht, da a(n)>n für alle n N, da 100/n > 0, also ist a(n) n. o. unbeschränkt
--> nicht konvergent
Stimmt das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sind diese Folgen monoton und beschränkt?
> a) a(n) = (2n³ - 4n² + 1) / n³
> b) b(n) = (n + 100/n)
>
> Hallo, meine Lösungsidee:
>
> a) Monotonie:
> a(n+1) / a(n)
> = 2(n+1)³-4(n+1)²+1 / (n+1)³
> = (2n³+2n²-2n-1)*n³ / (n³+3n²+3n+1)*(2n³-4n²+1)
> = [mm]2n^6+2n^5-2n^4-n³[/mm] / [mm]2n^6+2n^5-6n^4-9n³-n²+3n+1[/mm]
> Das ist eigentlich <=1, d. h. monton fallend, wenn ich mir
> allerdings die Folge als Funktion betrachte und mir den
> Graph zeichen lassen, dann erhalte ich eine monoton
> wachsende Funktion im Bereich ab 1 bis unendlich. Wo ist
> der Fehler?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wo der Fehler ist, kann ich (ohne alles selbst zu rechnen) schlecht sagen.
Nicht ersichtlich ist mir, wie Du gesehen hast, daß
> [mm]2n^6+2n^5-2n^4-n³[/mm] / [mm]2n^6+2n^5-6n^4-9n³-n²+3n+1[/mm]
"eigentlich" [mm] \le [/mm] 0 ist.
Ich finde diese Dividiererei sehr unerfreulich. Wäre es nicht einfacher, Du würdest [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] berechnen?
Hierbei ist die Umformung a(n) = (2n³ - 4n² + 1) / [mm] n³=2+\bruch{1-4n^2}{n^3} [/mm] sicher vorteilhaft.
> Beschränktheit: untere S. = -1, obere S. = 2
Das mußt Du natürlich vorrechnen.
> --> konvergent
>
> b) Monotonie:
obere S. = ex. nicht, da
> a(n)>n für alle n N, da 100/n > 0, also ist a(n) n. o.
> unbeschränkt
> --> nicht konvergent
> Stimmt das?
Ja.
Gruß v. Angela
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