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Monotonie: Leibniz-Kriterium, Differenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Fr 06.12.2013
Autor: Thordar

Aufgabe
Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \wurzel(v+1)-\wurzel(v) [/mm]

Hi,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich will die Aufgabe mit dem Leibniz-Kriterium lösen, was ja naheliegend ist.
Hab zur Monotonie also die Differenz [mm] a_{v+1}-a_{v} [/mm] aufgestellt:

[mm] \wurzel(v+2)-\wurzel(v+1)-\wurzel(v+1)+\wurzel(v) [/mm] = [mm] \wurzel(v+2) [/mm] - [mm] 2*\wurzel(v+1)+\wurzel(v) [/mm]

Zur Monotonie muss das ja im Betrag < 1 sein. Wir haben eh nur positive Summanden, also kann der Betrag weggelassen werden.

Jetzt wollte ich beide Seiten quadrieren, was ergibt:

(v+2) - (2v+2) + v < 1

Die linke Seite kürzt sich zur 0, was ja dann eine wahre Aussage ergibt.
Aber das bedeutet doch, dass die ursprüngliche Summe sich mit jedem Summanden um 0 verändert?! Das ist offensichtlich Falsch, wenn man sich die Funktion mal plottet.
Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

Vielen Dank schonmal im Vorraus.

        
Bezug
Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Fr 06.12.2013
Autor: fred97


> Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:
>  [mm]\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \wurzel(v+1)-\wurzel(v)[/mm]
>  Hi,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Ich will die Aufgabe mit dem Leibniz-Kriterium lösen, was
> ja naheliegend ist.
>  Hab zur Monotonie also die Differenz [mm]a_{v+1}-a_{v}[/mm]
> aufgestellt:
>  
> [mm]\wurzel(v+2)-\wurzel(v+1)-\wurzel(v+1)+\wurzel(v)[/mm] =
> [mm]\wurzel(v+2)[/mm] - [mm]2*\wurzel(v+1)+\wurzel(v)[/mm]
>  
> Zur Monotonie muss das ja im Betrag < 1 sein. Wir haben eh
> nur positive Summanden, also kann der Betrag weggelassen
> werden.
>  
> Jetzt wollte ich beide Seiten quadrieren, was ergibt:
>  
> (v+2) - (2v+2) + v < 1

Nein. Das ist völlig falsch ! Wie hast Du denn quadriert ????

FRED

>  
> Die linke Seite kürzt sich zur 0, was ja dann eine wahre
> Aussage ergibt.
>  Aber das bedeutet doch, dass die ursprüngliche Summe sich
> mit jedem Summanden um 0 verändert?! Das ist
> offensichtlich Falsch, wenn man sich die Funktion mal
> plottet.
>  Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?
>  
> Vielen Dank schonmal im Vorraus.


Bezug
                
Bezug
Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Fr 06.12.2013
Autor: Thordar

ach... da war der Fehler.. eine Wurzel lässt sich ja als ^1/2 darstellen, und ich hab deswegen beim quadrieren alle Wurzeln gestrichen, anstatt die gesamte Summe zu quadrieren.

Danke sehr. Manchmal steht man zu sehr auf dem Schlauch

Bezug
        
Bezug
Monotonie: Klammern?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Fr 06.12.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Thordar!


>  [mm]\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \wurzel(v+1)-\wurzel(v)[/mm]

Lautet die Aufgabe wirklich so?
Oder doch nicht:

[mm]\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^v* \left(\wurzel(v+1)-\wurzel(v)\right)[/mm]

Denn nur so macht die Anwendung von Herrn Leibniz Sinn, wie Du es berechnet hast.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
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