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| Aufgabe | [mm] f(x)=a*x^n
[/mm]
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Dies ist eine Frage zu einer Erklärung aus dem FAQ.
"Es ist $ [mm] f:\IR\to\IR [/mm] $ $ [mm] x\mapsto a\cdot x^n [/mm] $ (ich nehme im Folgenden $ [mm] n\in\IN [/mm] $ an).
Dann ist $ [mm] f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1} [/mm] $ . So, für $ [mm] x\geq [/mm] 0 $ ist $ [mm] x^{n-1}\geq [/mm] 0 $.
Ist zudem $ [mm] a\geq [/mm] 0 $, so folgt $ [mm] f'(x)\geq [/mm] 0 $ für alle $ [mm] x\geq [/mm] 0 $.
Die Funktion ist also für $ [mm] x,a\geq [/mm] 0 $ im Intervall $ [mm] [0,\infty) [/mm] $ monoton steigend.
Ist hingegen $ [mm] a\leq [/mm] 0, [mm] x\geq [/mm] 0 $, so folgt $ [mm] n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq [/mm] 0 $, die Funktion ist also im Intervall $ [mm] [0,\infty) [/mm] $ monoton fallend."
Meine Frage dazu ist folgende: Wie leitet man $ [mm] f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1} [/mm] $ im Einzelnen her?
Das verstehe ich nicht.
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=a\times x^n [/mm] |
Tut mir leid, ich habe die Aufgabe falsch geschrieben...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 So 24.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Wenn Du ein Malzeichen machen möchtest, musst du "cdot" anstelle von "times" schreiben. "times" macht nämlich ein Kreuz.
Gruß Denny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 So 24.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> [mm]f(x)=a\cdot x^n[/mm]
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> Dies ist eine Frage zu einer Erklärung aus dem FAQ.
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> "Es ist [mm]f:\IR\to\IR[/mm] [mm]x\mapsto a\cdot x^n[/mm] (ich nehme im
> Folgenden [mm]n\in\IN[/mm] an).
> Dann ist [mm]f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1}[/mm] . So, für [mm]x\geq 0[/mm] ist
> [mm]x^{n-1}\geq 0 [/mm].
> Ist zudem [mm]a\geq 0 [/mm], so folgt [mm]f'(x)\geq 0[/mm] für alle [mm]x\geq 0 [/mm].
> Die Funktion ist also für [mm]x,a\geq 0[/mm] im Intervall [mm][0,\infty)[/mm]
> monoton steigend.
> Ist hingegen [mm]a\leq 0, x\geq 0 [/mm], so folgt [mm]n\cdot a\cdot x^{n-1}\leq 0 [/mm],
> die Funktion ist also im Intervall [mm][0,\infty)[/mm] monoton
> fallend."
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> Meine Frage dazu ist folgende: Wie leitet man [mm]f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1}[/mm]
> im Einzelnen her?
> Das verstehe ich nicht.
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Naja, was dort steht ist nichts anderes als die Ableitung von [mm] $f(x)=a\cdot x^n$ [/mm] für eine feste natürliche Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] und einer festen Konstanten [mm] $a\in\IR$. [/mm] Nun besagen die Rechenregeln des Differenzierens, dass Du zum einen Konstanten aus dem Ableitungsprozess rauszeihen kannst, d.h.
[mm] $f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}a\cdot x^n=a\cdot\underbrace{\frac{d}{dx}x^n}_{=n\cdot x^{n-1}}=a\cdot n\cdot x^{n-1}$
[/mm]
Gruß Denny
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