Monotonie < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 So 20.04.2008 | | Autor: | JulGe |
Guten Morgen,
wenn man eine Funktionsuntersuchung macht und das
Monotonieverhalten von einer Funktion ohne GTR bestimmen
soll. Ließt man das Monotonieverhalten dann am Schaubild ab
oder wie zeigt man dann, in welchem Intervall eine Kurve
z.B. streng Monoton steigend ist.
Viele Grüsse und Danke schonmal
Julian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen,
>
> wenn man eine Funktionsuntersuchung macht und das
> Monotonieverhalten von einer Funktion ohne GTR bestimmen
> soll. Ließt man das Monotonieverhalten dann am Schaubild ab
> oder wie zeigt man dann, in welchem Intervall eine Kurve
> z.B. streng Monoton steigend ist.
>
> Viele Grüsse und Danke schonmal
> Julian
>
Du brauchts die Frage nicht zweimal in verschiedenen Unterforen zu stellen.
Um welche Funktion geht es denn konkret, und was hast du in der Aufgabe gegeben?
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 20.04.2008 | | Autor: | JulGe |
Sorry. Ich Dachte wenn ichs im falschen Forum geposted habe, dann stell ich die Frage einfach nochmal hier.
Es geht um keine spezielle Funktion. Ich möchte eigentlich nur wissen, wie man das Monotonieverhalten einer Funktion rechnerisch bestimmt.
Danke und sorry nochmal wegen dem Doppelposting
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Sorry. Ich Dachte wenn ichs im falschen Forum geposted
> habe, dann stell ich die Frage einfach nochmal hier.
>
> Es geht um keine spezielle Funktion. Ich möchte eigentlich
> nur wissen, wie man das Monotonieverhalten einer Funktion
> rechnerisch bestimmt.
>
> Danke und sorry nochmal wegen dem Doppelposting
> Julian
Dann freue dich schon mal auf Klasse 11. Die Differenzialrechnung untersucht das Anstiegsverhalten von Funktionen.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 20.04.2008 | | Autor: | JulGe |
Das kann ich ja schon. Ableitung usw. habe ich schon gelernt. Könntest du mir bitte erklären, wie man dieses Monotonieverhalten berechnet.
Liebe Grüsse
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 20.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
für stetige Funktionen (insbesondere für diff'bare Funktionen) [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] kannst Du Dir ja mal überlegen, wie das ganze mit Extrempunkten zusammenhängt.
Generell mußt Du sonst einfach über die Definition gehen, d.h. in Deinem Fall am besten Intervalle $I [mm] \subset \IR$ [/mm] finden, so dass auf $I$ z.B. gilt:
a) $x < y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(y)$ (dann wäre $f$ auf $I$ z.B. monoton wachsend)
b) $x < y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) < f(y)$ (dann wäre $f$ auf $I$ z.B. streng monoton wachsend)
Ggf. kannst Du ja mal ein Beispiel einer Funktion, die Dich interessiert, angeben. Aber wie gesagt:
Später kannst Du (bei stetigen Funktionen) mit Extremstellen Überlegungen anstellen, und unter geeigneten Voraussetzungen wird Dir da die Ableitung helfen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 20.04.2008 | | Autor: | JulGe |
Vielen Dank.
Also eine Funktion die mich interessieret wäre:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-\bruch{5}{2}x^{2}+\bruch{9}{4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 20.04.2008 | | Autor: | Baba90 |
Du kannst auch von der Funktion die Ableitung nehmen und eine Wertetabelle machen. Für deine Beispielfunktion sieht das dann so aus:
f'(x)= [mm] x^{3}-5x
[/mm]
-5 => -100 ; -4,5 => -68,6 ; -4 => -44 ; -3,5 => -25,37 ; -3 => -12 ; -2,5 => -3,125
-2 => 2 ; -1.5 => 4,125 ; -1 => 4 ; -0,5 => 2,375 ;
0 => 0 ;
0,5 => -2,375 ; 1 => -4 ; 1,5 => -4,125 ; 2 => -2 ;
2,5 => 3,125 ; 3 => 12 ; 3,5 => 25,375 ; 4 => 44 ; 4,5 => 68,625 ; 5 => 100 ;
Du siehst jetzt, dass es an drei Punkten einen Vorzeichenwechsel gibt: zwischen -2,5 und -2, bei 0 und zwischen 2 und 2,5. je genauer man das macht umso offensichtlicher wird, dass der Vorzeichenwechsel an den Punkten [mm] -\wurzel{5}, [/mm] 0 und [mm] \wurzel{5} [/mm] ist.
Wir können also sagen dass:
[mm] [-5;-\wurzel{5}[ [/mm] => streng monoton fallend ist.
Wenn die Ableitung für einen Punkt x<0 ist, dann dann ist die Funktion in dem Punkt fallend. [ am Anfang bedeutet übrigens, dass der erste Punkt mit dazu gehört und die Funktion in diesem Punkt auch fallend ist, während das gleiche symbol am Ende bedeutet, dass der Punkt nicht dazugehört, schließlich ist dort die Steigung 0. (Weiß ja nicht ob du das gelernt hast)
[mm] ]-\wurzel{5};0[ [/mm] => streng monoton steigend ist.
Die Punkte gehören nicht dazu, also sind beide Klammern nach außen geöffnet.
[mm] ]0;\wurzel{5}[ [/mm] => streng monoton fallend ist.
[mm] ]\wurzel{5}; [/mm] 5] => streng monoton wachsend ist.
Wenn man weiß, dass vor -5 und nach 5 keine Hoch- und Tiefpunkte mehr sind, kann man auch sagen:
[mm] [-\infty;-\wurzel{5}[ [/mm] => streng monoton fallend
und:
[mm] ]\wurzel{5};\infty] [/mm] => streng monoton wachsend
Ich hoffe, dass ich dir damit geholfen habe und dich nicht verwirrt habe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank.
>
> Also eine Funktion die mich interessieret wäre:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-\bruch{5}{2}x^{2}+\blue{\bruch{9}{4}}[/mm]
wenn ich das ableite, so folgt:
[mm] $f\,'(x)=x^3-5x$
[/mm]
[mm] $f\,'\,'(x)=3x^2-5$
[/mm]
Wenn Du Dich schon in der Differentialrechnung auskennen solltest, so erkennt man damit:
Die Stellen der kritischen Punkte sind [mm] $x_1=0$, $x_{2,3}=\pm \sqrt{5}$
[/mm]
Mit der zweiten Ableitung kann man dann argumentieren, dass an $x=0$ lokales Maxima und ansonsten lokale Minima vorliegen. Damit kann man sich leicht klar machen, dass bei der Funktion gilt:
Streng monoton fallend auf [mm] $\left(-\infty, -\sqrt{5}\right]$, [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $\left[-\sqrt{5},0 \right]$, [/mm] streng monoton fallend auf [mm] $\left[0,\sqrt{5}\right]$, [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $\left[\sqrt{5}, \infty \right)$
[/mm]
Und wenn Du ein wenig hinschaust, wirst Du erkennen, dass ich die obige Konstante [mm] $\frac{9}{4}$ [/mm] markiert habe, weil diese Konstante für das Monotonieverhalten Deiner Funktion vollkommen irrelevant ist.
Wie gesagt:
Bei stetigen Funktionen können die Extremstellen sehr hilfreich sein, wenn man Aussagen über das Monotonieverhalten der Funktion machen will. Natürlich kann man auch mithilfe des Vorzeichens der Ableitung bei diff'baren Funktionen eine Aussage über das Monotonieverhalten der Funktion machen, aber dafür muss die Funktion überhaupt mal diff'bar sein und dann würde ich mir gar nicht soviel Arbeit machen mit den Vorzeichen, wie es oben schonmal gemacht wurde. Zumal eine Wertetabelle eigentlich so gut wie immer "unnötige Rechnerei" ist, deren Aussagekraft man zudem kritisieren kann...
P.S.:
@ Baba:
Mit [mm] $f\,'(x)=x*(x+\sqrt{5})*(x-\sqrt{5})$ [/mm] erkennt man eigentlich sehr schnell, wann [mm] $f\,'(x) \ge [/mm] 0$ und wann [mm] $f\,'(x) \le [/mm] 0$ gilt.
(Und die Rechnung dazu ist banal:
[mm] $f\,'(x)=x^3-5x=x(x^2-5)=x(x^2-\sqrt{5}^2)=x(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$.)
[/mm]
Zudem brauchst Du hier die Extremstellen nicht bei den Monotoniebereichen auszuschließen. Bei [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] sind die Aussagen, dass die Funktion auf [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] streng monoton fallend und dass sie auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] streng monoton wachsend ist, genauso wahr. Das ist bei dieser Funktion auch die bestmögliche Aussage, sie ist auch besser (wenngleich nicht viel), als wenn man nur von der Monotonie auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] bzw. [mm] $(0,\infty)$ [/mm] dort spräche. Überlege Dir einfach mal, wenn Du ein Intervall $(a,b)$ mit [mm] $-\infty [/mm] < a < b < [mm] \infty$ [/mm] hast und schon weißt (z.B. durch Benutzen der Ableitung), dass eine Funktion auf $(a,b)$ z.B. streng monoton fallend ist, was Du dann für Aussagen über das Monotonieverhalten der Funktion auf $[a,b]$ machen kannst, wenn denn die Funktion dort stetig ist. Analoges gilt natürlich auch für Intervalle der Art $(a,b]$, $[a,b)$ und auch [mm] $(-\infty,c]$, $[c,\infty)$ [/mm] für [mm] $-\infty [/mm] < c < [mm] \infty$... [/mm]
Gruß,
Marcel
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