Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 09.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Untersuche die Funktion [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] mit f(0)=0 und f(x)=x[2-sin(logx)-cos(logx)], [mm] (0 |
Hey Leute,
ich habe mal eine Frage. Ich habe mir in diversen Büchern und auch im Internet das Thema Monotonie angeschaut. So richtig geholfen hat mir davon bisher aber nichts, weil da keine Beispiele dabei waren. Kann mir vielleicht jemand erklären wie man da am Besten vorgeht wenn man eine Funktion auf Monotonie prüfen soll?
Die gestellte Aufgabe will ich versuchen zu lösen, bisher hat mir aber nichts soweit geholfen das ich die angehen konnte.
Dazu sei gesagt, dass ich in Mathe eine ziemliche Niete bin, wie ich leider immer wieder mit Erschrecken feststellen muss.
Grüße
chip
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Monotonie bestimmen heißt, zu bestimmen in welchen Intervallen die Funktion "steigt" oder "fällt".
Dies prüft man folgendermaßen:
Möglichkeit 1:
Ist eine Funktion in einem Intervall monoton steigend, so gilt in diesem Intervall:
[mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] => [mm] f(x_{1}) \le f(x_{2}) \gdw f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2}) \le [/mm] 0
(Logisch: Ist das Argument weiter "links", dann ist der Funktionswert weiter "unten")
Ist eine Funktion in einem Intervall monoton fallend, so gilt in diesem Intervall:
[mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] => [mm] f(x_{1}) \ge f(x_{2}) \gdw f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2}) \ge [/mm] 0
(Logisch: Ist das Argument weiter "links", dann ist der Funktionswert weiter "oben")
Strenge Monotonie heißt im Vergleich zur "einfachen" Monotonie, dass die Funktion auf jeden Fall steigt; bei "einfacher" Monotonie kann in dem Intervall auch ein konstanter Wert vorliegen.
BSP:
[mm] x^{2} [/mm] ist im Intervall ( [mm] 0,\infty [/mm] ) streng monoton steigend.
Nachweis:
Sei [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}.
[/mm]
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] x_{1}^{2} [/mm] < [mm] x_{2}^{2} [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] für [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] ( [mm] 0,\infty [/mm] ).
Möglichkeit 2:
Ist f'(x) > 0 in einem bestimmten Intervall, dann ist die Funktion f(x) dort streng monoton steigend.
Ist f'(x) < 0 in einem bestimmten Intervall, dann ist die Funktion f(x) dort streng monoton fallend.
Bsp:
f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
f'(x) = 2x
f'(x) > 0 für x [mm] \in [/mm] ( [mm] 0,\infty [/mm] ) ==> f(x) streng monoton steigend auf ( [mm] 0,\infty [/mm] ).
f'(x) < 0 für x [mm] \in (\infty,0) [/mm] ==> f(x) streng monoton fallend auf [mm] (\infty,0).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 10.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Zu meiner Aufgabe von oben. Ich denke, dass es sich um eine streng monoton wachsende Funktion handelt und im Intervall zwischen 0 und 1 wird die ableitung von f(x) nicht null. Stimmt das? Ich habe die Ableitung gemacht und dann einfach Werte zwischen 0 und 1 eingesetzt. Kann man das noch anders zeigen?
Bei der Monotonie muss ich zugeben, dass mir die Kriterien ja durchaus klar erscheinen. Ich bin mir nur nicht sicher wie ich das aufschreiben kann. Ich habe ja ein Intervall von [0,1] vorgegeben und das f(0)=0 ist. Nehme ich dann für [mm] x_1,x_2 [/mm] einfach 0 und 1? Dann einfach für [mm] x_2=1 [/mm] ausrechnen und in die Ungleichung schreiben? Und dann einfach die Ableitung nehmen und gucken ob die <0 oder >0 ist, um auf die strenge Monotonie zu schliessen?
Ich weiß, ich stell mich wahrscheinlich grad ziemlich dämlich an, aber ich bin mir immer so unsicher...
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Zunächst die Funktion ableiten:
f(x) = x*(2-sin(ln(x))-cos(ln(x)))
(Produktregel:)
f'(x) = 1*(2-sin(ln(x))-cos(ln(x))) + [mm] x*(-\bruch{cos(ln(x))}{x}+\bruch{sin(ln(x))}{x})
[/mm]
= 2-sin(ln(x))-cos(ln(x)) - cos(ln(x))+ sin(ln(x))
= 2 - 2*cos(ln(x)).
Du musst nun zeigen, dass diese Funktion im Intervall [0,1] garantiert immer größergleich 0 ist (Weil wenn die Ableitung einer Funktion größer als 0 ist, die Funktion stets monoton steigt)! Dazu musst du zeigen:
2 - 2*cos(ln(x)) [mm] \ge [/mm] 0
2 [mm] \ge [/mm] 2*cos(ln(x))
1 [mm] \ge [/mm] cos(ln(x)).
Und wie man sehen kann, ist dies immer erfüllt (Der Cosinus kann nicht größer aks 1 werden), und somit erst recht im Intervall [0,1]. Monotonie bewiesen.
Zum zweiten Teil, wann f'(x) = 0:
2 - 2*cos(ln(x)) = 0
2 = 2*cos(ln(x))
1 = cos(ln(x))
[mm] cos^{-1}(1) [/mm] = ln(x)
(Wann wird der Cosinus 1? Bei [mm] 2*k*\pi [/mm] (k [mm] \in [/mm] Z))
[mm] 2*k*\pi [/mm] = ln(x)
[mm] e^{2*k*\pi} [/mm] = x
Versuch dich reinzufinden und hab keine Scheu, nachzufragen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Mo 11.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Mh, okay. Einleuchtend.
Die Frage war aber nicht wann wird f'(x)=0 sondern wie oft. Oder ist das der gleiche Weg und man muss das eben durchprobieren? Naja, im Grunde sagt ja wann dann auch letztlich wie oft aus. mmmhh...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Mo 11.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja wie oft und wo sind fast dieselbe Frage, du musst ja nur das kleine Intervall nachsehen.
Gruss leduart
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Du siehst ja oben die Lösungen für x:
x = [mm] e^{2*k*\pi} [/mm] , [mm] k \in \IZ
[/mm]
Naja, und k kann man von 0 bis [mm] -\infty [/mm] wählen, sodass das x [mm] \in [/mm] [0,1] liegt. (Wegen [mm] e^{...}, [/mm] das immer größer 0 ist)
Wieviele Lösungen wird es also geben?
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