Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] x [mm] \mapsto a^x, [/mm] a [mm] \in \IR_{+}, [/mm] a [mm] \not= [/mm] 1. Zeigen Sie:
Für a > 1 ist f streng monoton wachsend; für 0<a<1 ist f streng monoton fallend. |
Schönen guten Abend, allerseits!!
Den ersten Teil habe ich hinbekommen mit dem streng monoton wachsend. Aber beim zweiten Teil hänge ich schon seit ner Weile. Ein kleiner Tipp würde sogar reichen, hoffe ich =)
Vielen Dank im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 So 06.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Funktion $x [mm] \mapsto a^x$ [/mm] mit $0 < a$ und $a [mm] \not= [/mm] 1$ ist ja nichts anderes als $x [mm] \mapsto exp(x*ln(a))=e^{x*ln(a)}$
[/mm]
(Ist Dir das klar bzw. bekannt?)
Die Funktion exp(.) (also $x [mm] \mapsto e^x$) [/mm] ist streng monoton wachsend auf [mm] $\IR$. [/mm] Für $a > 1$ ist $ln(a) > 0$, für $0<a<1$ ist $ln(a) < 0$, und mit diesen Sachverhalten kann man die Behauptungen folgern.
Betrachten wir den Fall $a > 1$:
Dort ist also $ln(a) > 0$:
Ist $x < y$ und $ln(a) > 0$:
In welcher Beziehung (<,>, [mm] $\le$ [/mm] oder [mm] $\ge$?) [/mm] stehen dann $x*ln(a)$ und $y*ln(a)$ zueinander?
Betrachten wir nun den Fall $0 < a <1$:
Hier ist $ln(a) < 0$. Ist nun $x < y$:
In welcher Beziehung stehen dann hier $x*ln(a)$ und $y*ln(a)$ zueinander?
Im Prinzip bist Du, wenn Du das richtige Symbol oben jeweils einsetzt, schon fertig, wenn Du beachtest, dass - wie gesagt - exp(.) streng monoton wachsend auf [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Erstmals, vielen Dank für die schnelle Antwort!!
Okay, jetzt hab ich da stehen...
2. Fall: für 0<a<1 gilt ln(a)<0
=> für x<y gilt dann x*ln(a)>y*ln(a) also [mm] a^x [/mm] > [mm] a^y
[/mm]
dann folgt auch die behauptung.
Danke schön!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 06.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MeAndMrJones!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig so! Alternativ hätte man das auch über die 1. Ableitung zeigen können.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 06.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, absolut korrekt, aber bei so kleinen Aufgaben sollte man dann ganz ausführlich sein, und ruhig alles hinschreiben, sonst sieht es ein wenig so aus, als hätte man nur etwas zusammengebastelt, ohne sich wirklich Gedanken zu machen (Du musst bedenken, dass Dein Korrektor, wenn Du nirgends auch nur die von mir erwähnten Sachverhalte erwähnst, ja im Prinzip nicht wissen kann, wie Du das folgerst; und dann sieht es so aus, als wenn Du das so folgern würdest, weil die Aufgabe es so verlangt):
Ist $x<y$, so folgt im Falle $0<a<1$ dann wegen $ln(a)<0$, dass
$y*ln(a) < x*ln(a)$. Weil exp(.) auf [mm] $\IR$ [/mm] bekanntlich streng monoton wachsend ist (ich gehe auch einfach mal davon aus, dass das bekannt ist) folgt dann
$exp(y*ln(a)) < exp(x*ln(a))$, also in der Tat [mm] $a^y [/mm] < [mm] a^x$ [/mm] bzw. [mm] $a^x [/mm] > [mm] a^y$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Loddar, danke für den Tipp, aber Ableitungen durfte ich nicht anwenden, weil wir sie noch nich hatten =)
Marcel, danke!!
|
|
|
|
