Monotones Wachstum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | Im Folgenden sei nun [mm] f:I\rightarrow \mathbb{R} [/mm] eine konvexe Funktion!
Sei I ein Intervall, das mehr als einen Punkt enthält, und seien [mm] \xi \in I^\circ [/mm] sowie [mm] f:I\rightarrow \mathbb{R} [/mm] eine Funktion.
Zeigen Sie, dass h: I [mm] \cap ]-\infty,\xi[ \rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow [/mm] h(x):= [mm] \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi} [/mm] eine auf I [mm] \cap ]-\infty, \xi[ [/mm] monoton wachsende, nach oben beschränkte Funktion ist, und folgern Sie, dass die linksseitige Ableitung [mm] f'(\xi-) [/mm] := [mm] lim_{\stackrel{x\to\xi}{x<\xi}} [/mm] h(x) existiert. |
Es geht mir jetzt erstmal nur darum zu zeigen dass h eine monoton wachsende Funktion ist.
Mein Ansatz: Sei [mm] $J=I\cap ]-\infty,\xi[$\\
[/mm]
f ist konvex$ [mm] \leftrightarrow f''(x) > 0 \forall x \in I \rightarrow [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] f'(y) [mm] \le f'(\xi) \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] J$ mit [mm] $x
Es gilt: h ist auf J monoton wachsend [mm] $\leftrightarrow h'(x) \ge 0 \forall x\in I$. Dies ist also zu zeigen.\\
Es gilt nach Quotientenregel: $h'(x) = \frac{f'(x)(x-\xi)-f(x)+f(\xi)}{(x-\xi)^2} $ es folgt: $h'(x) \ge 0 \leftrightarrow f'(x)(x-\xi)-f(x)+f(\xi) \ge 0 \leftrightarrow -f'(x)-f(x)+f(\xi)\ge 0 \leftrightarrow f(\xi)\ge f(x)+f'(x)$
So, daraus folgt (wie ich das sehe) die Behauptung nun für x\le \xi-1 unmittelbar. Wie kann ich dies aber auch für den Fall \xi-1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Do 08.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> -Update-
> Da ich da nicht weiter kam und weil ich mir auch gar nicht
> so sicher bin ob ich die Differenzierbarkeit von f
> voraussetzen kann hab ich nochmal anders überlegt.
Fang doch ganz einfach an: was heißt denn konvex? Wie ist es definiert? Lass sämtliche Betrachtungen der Ableitung erstmal weg.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 08.01.2009 | | Autor: | dmy |
Nach der Definition die wir hatten: [mm] \forall [/mm] a,b,x [mm] \in [/mm] I: a<x<b [mm] \rightarrow f(x)\le [/mm] f(a) + [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).
[/mm]
Hmm, wenn ich dass umstelle ergibt sich ja: [mm] \forall [/mm] a,b,x [mm] \in [/mm] I: a<x<b [mm] \rightarrow \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)} \le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Das kommt ja schon in die Nähe einer Aussage die ich gerne hätte. Nur dass jetzt a jetzt dass kleinste Element ist und [mm] \xi [/mm] dass grösste...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Do 08.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nach der Definition die wir hatten: [mm]\forall[/mm] a,b,x [mm]\in[/mm] I:
> a<x<b [mm]\rightarrow f(x)\le[/mm] f(a) +
> [mm]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).[/mm]
Stelle das hinter mal as [m](x-b + b-a)[/m] dar, rechne es aus und stele es wieder um.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Do 08.01.2009 | | Autor: | dmy |
[mm]\forall[/mm] a,b,x [mm]\in[/mm] I: a<x<b [mm]\rightarrow f(x)\le[/mm] f(a) + [mm]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).[/mm]
[mm] \leftrightarrow
f(x) \le f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b+b-a)
\leftrightarrow
f(x) \le f(a) + (x-b)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+(b-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\leftrightarrow
f(x) \le f(b)+ (x-b)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\leftrightarrow
\frac{f(x)-f(b)}{x-b} \le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\leftrightarrow
\frac{f(x)-f(b)}{x-b} \le \frac{f(a)-f(b)}{a-b}
Hä? da aa
Dann wäre die Funktion ja monoton fallend statt monoton steigend?? Irgendwas hab ich wohl falsch gemacht aber ich find den Fehler nicht...
Ich nehms zurück!
Klar, (x-b) ist natürlich negativ und das Ungleichheitszeichen dreht sich um...
Hmm, cooler trick, vielen Dank!
Kann mir jemand mal bitte erklären wie ich eine offene Frage selber als geklärt markieren kann (in dem Fall dass ich wie jetzt selber auf die Lösung gekommen bin?)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 08.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir jemand mal bitte erklären wie ich eine offene
> Frage selber als geklärt markieren kann (in dem Fall dass
> ich wie jetzt selber auf die Lösung gekommen bin?)
Du kannst den Artikel bearbeiten, und dann sollte es dir möglich sein, den Status zu ändern (falls ich nicht gerade einen Aussetzer habe). Ansosnten kann ein Moderator das übernehmen, die könen Status der Artikel verändern.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:55 Fr 09.01.2009 | | Autor: | dmy |
Nachdem dass so gut geklappt hat habe mir überlegt bzgl. der Beschränktheit zu versuchen analog vorzugehen. D.H. die Konvexitätsgleichung irgendwie so umzuformen, dass auf der einen Seite steht:
[mm] \ge \frac{f(a)-f(x)}{a-x}
[/mm]
Denn dann könnte ich ja für x [mm] \xi [/mm] einsetzen und hätte gezeigt dass es ein Supremum (Nämlich was auch immer links vom [mm] \ge [/mm] Zeichen steht) gibt.
Leider habe ich es auch nach einigem rumprobieren nicht hinbekommen die Gleichung entsprechend umzuformen. Wäre super wenn mir jemand dazu einen Tipp geben könnte oder bzgl. eines anderen Ansatzes falls dieser nicht Sinnvoll sein sollte...
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Fr 09.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Denn dann könnte ich ja für x [mm]\xi[/mm] einsetzen und hätte
> gezeigt dass es ein Supremum (Nämlich was auch immer links
> vom [mm]\ge[/mm] Zeichen steht) gibt.
Da dein [m]\xi[/m] ein innerer Punkt ist, gibt es Punkte "rechts" davon, sagen wir mal p. Nun benutze die richtige Ungleichung, die wir erarbeitet haben sowie deinen ersten "Fehlversuch", um mit [m]x\le\xi\le p[/m] die Quotienten abzuschätzen. Am besten mal dir das mal auf an einem konvexen Graphen auf, und bastel etwas rum.
SEcki
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