Monomorphismus zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ob folgenden Funktionen Homomorphismus, Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus, Endomorphismus und/oder Automorphismus sind.
a) [mm] f:(\IZ, [/mm] +) [mm] \rightarrow (2\IZ, [/mm] +) mit f(x) := 2x |
Hallo,
es geht um Abbildungen zwischen Gruppen. Der Titel des Themas enthält aus Platzgründen nur Monomorphismus, aber im Grunde geht es um alle Arten der Homomorphismen.
Die Frage ist ob es für Mono-, Epi- und Isomorphismus reicht, wenn ich zeige dass die Funktion f(x) injektiv/surjektiv/bijektiv ist, oder ob ich das anhand der Gruppenverknüpfung zeigen muss?
Im ersten Fall für f(x) = 2x muss der Homomorphismus injektiv sein. Angewandt auf f(x) würde ich das also so beweisen:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IZ, [/mm] x = y: f(x) = f(y).
Einsetzen:
f(x) = 2x
f(y) = 2y
2x = 2y
Das ist offensichtlich gleich (außerdem sind Geraden ja immer injektiv). Reicht es also bei Gruppenhomomorphismen die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität der beteiligten Funktion zu zeigen?
Noch eine Zusatzfrage: Was unterscheidet [mm] 2\IZ [/mm] von [mm] \IZ?
[/mm]
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mo 11.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Bestimmen Sie ob folgenden Funktionen Homomorphismus,
> Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus,
> Endomorphismus und/oder Automorphismus sind.
>
> a) [mm]f:(\IZ,[/mm] +) [mm]\rightarrow (2\IZ,[/mm] +) mit f(x) := 2x
> Hallo,
>
> es geht um Abbildungen zwischen Gruppen. Der Titel des
> Themas enthält aus Platzgründen nur Monomorphismus, aber
> im Grunde geht es um alle Arten der Homomorphismen.
>
> Die Frage ist ob es für Mono-, Epi- und Isomorphismus
> reicht, wenn ich zeige dass die Funktion f(x)
> injektiv/surjektiv/bijektiv ist, oder ob ich das anhand der
> Gruppenverknüpfung zeigen muss?
Es liegt hier eine gewisse Hierarchie der Begriffe vor:
1. $f$ ist eine Funktion.
2. $f$ ist ein Homomorphismus zwischen Gruppen.
3. $f$ hat zusaetzliche Eigenschaften wie Injektivitaet etc.
Je nach Situation sollte auf 1. eingegangen werden oder nicht. Schaden tut es auf keinen Fall.
2. musst Du unbedingt ueberpruefen. Eventuell solltest Du Dir auch Gedanken machen, ob ueberhaupt Gruppen vorliegen.
3. Weise nach, was geht.
>
> Im ersten Fall für f(x) = 2x muss der Homomorphismus
> injektiv sein. Angewandt auf f(x) würde ich das also so
> beweisen:
>
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IZ,[/mm] x = y: f(x) = f(y).
>
> Einsetzen:
>
> f(x) = 2x
> f(y) = 2y
>
> 2x = 2y
Sieh Dir bitte unbedingt nocheinmal die Definition einer injektiven Funktion an. Du scheinst etwas verwechselt zu haben.
>
> Das ist offensichtlich gleich (außerdem sind Geraden ja
> immer injektiv). Reicht es also bei Gruppenhomomorphismen
> die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität der
> beteiligten Funktion zu zeigen?
Nein. Siehe oben.
>
> Noch eine Zusatzfrage: Was unterscheidet [mm]2\IZ[/mm] von [mm]\IZ?[/mm]
Die $2$  Aber im Ernst: solche Fragen wuerde ich als erstes mit Hilfe Deines Skriptes versuchen zu beantworten. Allerhoechstwahrscheinlich sind alle geraden ganzen Zahlen gemeint.
>
> Liebe Grüße,
>
> Ceriana
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