Monoid < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Ein Monoid ist eine nicht Leere Menge mit einer Assoziativen Verknüpfung und einem zweiseitigem Neutralelement.
Klassifiziere die zyklichen Monoide. |
Hi
Ich habe hier ein Verständnis Problem.
Ich weis nicht was ich machen soll beim Klassifizieren. Habe bei mir schon im Skript gesucht aber kann nicht finden, nach welchen Kriterien klassifiziert werden soll.
Vielen Dank
Michael
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Hallo Michael,
Du könntest z.B. einteilen, ob die "Grundmenge" Deines zyklischen Monoides endlich/unendlich ist; oder ob die "Kürzungsregel" gilt (d.h. ob aus [mm]a,b,c \in M \wedge a*b=a*c \folgt b=c[/mm]) oder nicht ...
Insb. sind Gruppen Spezialfäle von Monoiden  .
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo,
noch ein kleiner Hinweis von mir: endliche zyklische Monoide lassen sich eindeutig (sprich: bis auf isomorphie) durch zwei Zahlen $v [mm] \in \IN_{\ge 0}$ [/mm] und $p [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] beschreiben. Von den unendlichen zyklischen Monoiden gibt es bis auf Isomorphie nur einen.
Zumindest wenn ich mich jetzt nicht vertan hab Hab grad nicht viel Zeit, meld mich spaeter nochmal...
LG Felix
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Das Monoid ist nicht leer. Sei also a ein Element des Monoid.
1.Fall: a = e, wobei e das zweiseitige neutrale Element sei.
2.Fall: a [mm] \not= [/mm] e. Dann verknüpfe a mit sich selber beliebig oft. Da das Assoziativgesetz gilt, kann man die Ergebnisse so schreiben: a, [mm] a^2, a^3, a^4, [/mm] ... Nun gibt es zwei prinzipielle Möglichkeiten: Es gibt ein n [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit [mm] a^n [/mm] = e, oder es gibt nie ein solches. Falls es ein n gibt, so klassifiziert dieses eindeutig ein entsprechendes Monoid. Falls es keines gibt, bin ich überfragt, denn ich denke, dass die Mächtigkeit eines Monoids auch eine Rolle spielt. So ist [mm] \IR [/mm] ja mächtiger als [mm] \IN.
[/mm]
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