Momenterzeugende Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:44 Mo 12.11.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Aufgabe : (Momenterzeugende Funktion)
Sei [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] (\IR; B(\IR)). [/mm] Definition der m.e.F. : M(t) = [mm] \integral_{}^{}{e^{tx} \mu (dx)} \in [/mm] [0, [mm] \infty] [/mm] fuer t [mm] \in \IR. [/mm] Nimm an, dass I = {t [mm] \in \IR: [/mm] M(t) < [mm] \infty [/mm] } nicht leer ist. Benutze Aufgabe 3(ii) um zu zeigen, dass log(M(t)) convex ist in I. Hebe den Gebrauch von Fubinis Theorem hervor.
3(ii) :
Hier haben wir gezeigt, dass M beliebig oft differenzierbar ist im Inneren von I und [mm] M^{k} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x^k e^{tx} \mu (dx)} [/mm] gilt. |
Hi Leute,
ich brauche zur oberen Aufgabe [mm] Tipps\Hilfe.
[/mm]
Kann ich hier logM einfach 2 mal differenzieren und zeigen,dass die 2Ableitung groesser Null ist?
(log(M))'' = [mm] (\bruch{M'}{M})'= (\bruch{\integral_{}^{}{xe^{tx} \mu (dx)}}{\integral_{}^{}{e^{tx} \mu (dx)}})' [/mm] = [mm] \bruch{\integral_{}^{}{x^2e^{tx} \mu (dx)}\integral_{}^{}{e^{tx} \mu (dx)}-\integral_{}^{}{xe^{tx} \mu (dx)}\integral_{}^{}{xe^{tx} \mu (dx)}}{(\integral_{}^{}{e^{tx} \mu (dx)})^2}
[/mm]
Und weiter? Ich muss ja irgendwo Fubini anwenden und Fubini sagt ja,dass ich innerhalb eines Integrals die I Integrationsreihenfolge aendern kann. Wie hilft mir das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 13.11.2012 | | Autor: | dimi727 |
Hallo? Keiner Lust auf die Aufgabe?
Ich habe ein bisschen weitergeschafft, habe die Variablen umbenannt und Fubini angewandt :
$ [mm] \bruch{\integral_{}^{}{x^2e^{tx} \mu (dx)}\integral_{}^{}{e^{ty} \mu (dy)}-\integral_{}^{}{we^{tw} \mu (dw)}\integral_{}^{}{ue^{tu} \mu (du)}}{(\integral_{}^{}{e^{tx} \mu (dx)})^2} [/mm] $ =
(hier dann Fubini) =
$ [mm] \bruch{\integral\integral_{}^{}{yx^2e^{t(x+y)} \mu (dxdy)}-\integral\integral_{}^{}{wue^{t(w+u)} \mu (dwdu)}}{(\integral_{}^{}{e^{tx} \mu (dx)})^2} [/mm] $
Wie könnte ich jetzt zeigen,dass der Zähler größer 0 ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 15.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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