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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Mo 19.12.2011 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Sei (X1, . . . , Xn) eine Zufallsstichprobe. Bestimmen Sie (falls möglich) die Punktschätzer für den Parameter θ mit der Momentenmethode, falls
b) [mm] X_i [/mm] geometrisch verteilt ist mit Parameter θ ∈ (0, 1), d.h. P(X = k) = [mm] \Theta(1 [/mm] − [mm] \Theta)^{k-1} [/mm] , k = 1, 2, . . .
c) [mm] X_i [/mm] die Dichte f(x;θ) = [mm] \bruch{\Theta}{x^2}\cdot 1_{[\Theta, \infty)}(x) [/mm] für θ > 0 hat.
[mm] d)X_i [/mm] die Dichte f (x; θ) = exp (-(x - [mm] \Theta)) \cdot 1_{[\Theta, \infty)}, [/mm] x ∈ [mm] \IR [/mm] hat. |
Hallo,
derzeit sitze ich an der Momentenmethode. Mir ist diese Methode bisher leider nur bei der Normalverteilung schlüssig geworden, wo ich mit dem ersten Moment E(X) den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und mit dem zweiten Moment [mm] E(X^2) [/mm] zuzüglich des ersten Moments die Varianz schätzen kann.
Aber welches "Kochrezept" kann ich anwenden, um allgemein - bei anderen Verteilungen, wie beispielsweise den obigen - die jeweilgen Parameter schätzen zu können? Wenn ich keinen Erwartungswert, keine Varianz, sondern wie in den obigen Verteilungen ein [mm] \Theta [/mm] schätzen möchte?
Vielen Dank!
MattiJo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mo 19.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
i.a. ist [mm] $\operatorname{E}[X]$ [/mm] eine Funktion [mm] $g(\theta)$ [/mm] des zu schaetzenden Parameters [mm] $\theta$. [/mm] Andererseits ist [mm] $\bar X=\sum_{i=1}^n X_i/n$ [/mm] ein erwartungstreuer und konsistener Schaetzer fuer [mm] $\operatorname{E}[X]$. [/mm] Ein MM-Schaetzer resultiert durch Aufloesen der Gleichung [mm] $\bar X=g(\hat\theta)$ [/mm] nach [mm] $\hat\theta$.
[/mm]
Beispiel Aufgabe b) [mm] $\operatorname{E}[X]=1/p$: $1/\hat p=\bar [/mm] X [mm] \iff \hat p=1/\bar [/mm] X$. [mm] $1/\bar [/mm] X$ ist somit ein Schaetzer fuer $p$ nach MM fuer die geometrische Verteilung.
vg Luis
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 19.12.2011 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank!
Wenn ich das jetzt auf die c) anwenden möchte, heißt das doch, ich muss zunächst den Erwartungswert (1. Moment) bestimmen.
[mm] m_1 [/mm] = E(X) = [mm] \integral_{\Theta}^{\infty}{x f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{\Theta}^{\infty}{x \bruch{\Theta}{x^2} dx} [/mm] = = [mm] \Theta \cdot \integral_{\Theta}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \Theta \cdot [/mm] ln [mm] (x)^\infty_\Theta
[/mm]
Heißt das, hier gibt es kein erstes Moment und ich kann die Momentenmethode nicht anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mo 19.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Heißt das, hier gibt es kein erstes Moment und ich kann
> die Momentenmethode nicht anwenden?
In der Tat, so etwas kann passieren.
vg Luis
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