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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:36 Fr 28.12.2007 | | Autor: | able1tung |
Hallo ^^;;;
Ich bin auf der Suche nach einer plausiblen, einfachen Herleitung der Moivreschen Formel
[mm] z^{n}=r^{n}*(\cos n*a + i*\sin n*a) [/mm]?
Bei Wiki habe ich einen Beweis durch vollständige Induktion gefunden. (Diesen kann ich jedoch nicht
zu 100% nachvollziehen ---)
Ich Suche daher eine einfache Herleitung (vermutlich aus der Formel für die Polarkoordinaten).
WENN ES MÖGLICH IST, BITTE KEINE HERLEITUNG MIT DER EULER'SCHEN RELATION, d.h. mit nicht re^... etc.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und bin euch deshalb im voraus schon sehr dankbar ^^
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo able1tung!
Hm, Du willst eine einfache Erklärung und schließt die einfachste von vornherein aus? Das ist alles andere als leicht.
Denn über die Beziehung $z \ = \ r*e^{i*\varphi} \ = \ r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\left]$ ist es lediglich ein einziger Schritt mit Hilfe eines  Potenzgesetzes:
$$\left( \ a^m \ \right)^n \ = \ a^{m*n}$$
Gruß
Loddar
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Kannst du diesen einen Schritt kurz darlegen ^^
ich seh's grad irgendwie nicht...^^
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> Kannst du diesen einen Schritt kurz darlegen ^^
> ich seh's grad irgendwie nicht...^^
Hallo,
wir haben
z = [mm] r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi} [/mm]
und wollen [mm] z^n [/mm] berechnen.
Es ist
[mm] z^n=(\ r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi})^n [/mm] = [mm] r^n* (e^{i\cdot{}\varphi})^n =r^n*e^{i\cdot{}n\varphi}
[/mm]
[mm] =r^n(cos(n\varphi)+i*sin(n\varphi)).
[/mm]
Gruß v. Angela
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