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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 05.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
ich hab mal eine Frage zu den Möndchen des Hippokrates.
Auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite steht,dass nach dem Satz des Phytagoras der rote Halbkreis über der Hypothenuse genau so groß ist wie die beiden Halbkreise über den Khateten zusammen.
Aber des Satz des Phytagoras gilt doch nur für rechtwinklige Dreiecke,wie kann man dann damit die Fläche der Halbkreise angeben?
Ich blick da nicht so richtig durch,kann mir jemand helfen?
lg
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> Hallo^^
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> ich hab mal eine Frage zu den Möndchen des Hippokrates.
> Auf
> dieser
> Seite steht,dass nach dem Satz des [mm] \red{Phytagoras}
[/mm]
> der rote
> Halbkreis über der [mm] \red{Hypothenuse} [/mm] genau so groß ist wie die
> beiden Halbkreise über den [mm] \red{Khateten} [/mm] zusammen.
> Aber der Satz des [mm] \red{Phytagoras} [/mm] gilt doch nur für
> rechtwinklige Dreiecke,wie kann man dann damit die Fläche
> der Halbkreise angeben?
> Ich blick da nicht so richtig durch,kann mir jemand
> helfen?
>
1.) a) Der Mann hiess nicht [mm] \red{Phytagoras}, [/mm] sondern Pythagoras .
b) "Hypotenuse" hat kein "th"
c) "Kathete" hat ein "th"
2.) Der Satz von Pythagoras handelt von den Flächeninhalten
des Hypotenusen- und der Kathetenquadrate.
Man kann daraus aber leicht schliessen, dass auch für
die entsprechenden Halbkreisflächen eine entsprechende
Beziehung gilt:
Der Halbkreis mit dem Durchmesser a hat den Flächeninhalt [m]\ (a/2)^2*\pi/2 = H_a[/m]
Der Halbkreis mit dem Durchmesser b hat den Flächeninhalt [m]\ (b/2)^2*\pi/2 = H_b[/m]
Der Halbkreis mit dem Durchmesser c hat den Flächeninhalt [m]\ (c/2)^2*\pi/2 = H_c[/m]
Man kann nun leicht zeigen, dass aus [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] folgt, dass auch [mm] H_a+H_b=H_c [/mm] gilt.
Gruß al-Ch.
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> Hallo^^
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> ich hab mal eine Frage zu den Möndchen des Hippokrates.
> Auf
> dieser
> Seite steht,dass nach dem Satz des Phytagoras der rote
> Halbkreis über der Hypothenuse genau so groß ist wie die
> beiden Halbkreise über den Khateten zusammen.
> Aber des Satz des Phytagoras gilt doch nur für
> rechtwinklige Dreiecke,wie kann man dann damit die Fläche
> der Halbkreise angeben?
Du hast schon eine Antwort zu diesem Spezialfall erhalten. Aber die Sache lässt sich weiter verallgemeinern. Es ist so: wenn Du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander ähnliche Figuren konstruierst (wobei die Seite des rechtwinkligen Dreiecks bei jeder dieser Figuren dieselbe bei Ähnlichkeit entsprechende Länge sein muss), dann ist die Summe der Flächeninhalte der Figuren über den Katheten gleich dem Flächeninhalt der Figur über der Hypotenuse.
Dieser Satz hat also nichts mit der speziellen Form der Figuren zu tun (Quadrat, Halbkreis, n-Eck, usw), die man über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks konstruiert und deren Flächeinhalte man dann vergleicht. Insofern ist ein Beweis für den Speziallfall von Halbkreisen, der sich auf die Flächenformel für Kreisflächen stützt, sogar leicht irreführend. Man braucht nur zu wissen, dass eine Figur, die um den Faktor [mm] $\lambda$ [/mm] gestreckt wird, ihren Flächeninhalt um den Faktor [mm] $\lambda^2$ [/mm] ändert.
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