Möglichst große Glasscheibe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mo 05.11.2007 | | Autor: | peeeter |
| Aufgabe | | Eine ursprünglich 60cm breite und 100cm lange Glasplatte ist kaputt gegangen. An einer Ecke ist ein Stück herausgebrochen, das 10cm der 100cm langen Seite und 4cm der 60cm langen Seite beansprucht. Nun soll aus dem Rest eine möglichst große Glasscheibe gefertigt werden. |
ich hab mal eine "skizze" gemacht(im anhang).die rote fläche soll dabei die neue glasplatte darstellen, die grüne das herausgebrochene stück. nur leider komme ich einfach gar nicht weiter.hab schon überlegt ob man was mit dem pythagoras machen könnte aber das hilft mir alles nicht so recht.
Als Zielfunktion habe ich A=a*b wobei ich mir dabei auch unsicher bin!
Hoffentlich könnt ihr mir helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Skizze ist doch schon mal ein guter Anfang!
Wenn du sie nicht so maaßstäblich gemacht hättest, sondern die Ecke größer hättest dus vielleicht gesehem.
nenn die fehlenden Stücke x und y
dann ist a=100-x, b=60-y, jetzt zeichne x,y in dein grünes Dreieck rein, dann solltest du aus dem Strahlensatz (oder ähnliche Dreiecke,) ne Beziehung zwischen x und y finden.
Gruss leduart
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In den matheraum allerbeste Grüße, ich hoffe ich verstoße nicht gegen eure Regeln, wenn ich diese Aufgabe aufgreife, aber genau diese ist auch unsere Hausaufgabe bis Donnerstag, ich habe gerechnet:
[mm] \bruch{4-y}{y}=\bruch{x}{10-x} [/mm] ähnliche Dreiecke
40-4x-10y+xy=xy
x=10-2,5y
A(x,y)=(100-x)(60-y)
A(x)=(100-10+2,5y)(60-y)
[mm] A(x)=-2,5y^{2}+30y+5400
[/mm]
A'(x)=-5y+30
0=-5y+30
y=6
So, das kann nicht meine Lösung für y sein, da ja nur 4cm abgebrochen sind, jetzt soll bei y=6cm das maximale Rechteck liegen, meine Vermutung die Beziehung [mm] \bruch{4-y}{y}=\bruch{x}{10-x} [/mm] kann so nicht stimmen, oder was ist falsch, wer kann mir helfen, Danke Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Brinki |
Zielfunktion ist klar: A(x,y)=(100-x)*(60-y) Das hast Du richtig gemacht.
Nun musst du die Nebenbedingung aufstellen. Hier ist dir ein Fehler unterlaufen. Schau dir noch einmal die Skizze an.
Wenn x null ist, muss y=4 sein und wenn x=10 ist muss y=0 sein.
Somit hast du zwei Zahlenpaare, aus denen du die Gleichung für die Nebenbedingung aufstellen kannst. Es muss eine lineare Gleichung vom Typ y=mx+c sein. Die Werte für m und c kannst du mit den beiden Zahlenpaaren bestimmen.
Den Rest hast Du wieder richtig gemacht. Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, ableiten, null setzten usw.
Hoffe, dass das hilft.
Grüße Brinki
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Danke brinki, eine wunderbare Erklärung, [mm] y=-\bruch{2}{5}x+4 [/mm] erhalte ich jetzt als Nebenbedingung,
A(x,y)=(100-x)(60-y)
[mm] A(x)=(100-x)(60+\bruch{2}{5}x-4)
[/mm]
[mm] A(x)=(100-x)(56+\bruch{2}{5}x)
[/mm]
[mm] A(x)=5600+40x-56x-\bruch{2}{5}x^{2}
[/mm]
[mm] A(x)=-\bruch{2}{5}x^{2}-16x+5600
[/mm]
[mm] A'(x)=-\bruch{4}{5}x-16
[/mm]
Setze ich die 1. Ableitung gleich Null, ist x negativ, das geht doch nicht?
Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast alles richtig gemacht. und auch richig erkannt dass die Werte für x ja zwischen 0 und 10 liegen mussen.
Das weiss aber natürlich die Gleichung nicht, und kann x auch negativ rauskriegen.
Das ergebnis heisst, wenn man den Punkt auf dem schrägen Stück laufen lässt , ändert sich der Flächeninhalt quadratisch. aber der Scheitel der Parabe liegt nicht mehr in unserem Definitionsgebiet.
Auf einem endlichen Stück ist aber ne Funktion immer irgendwo am größten, wenn nicht in der Mitte, dann am Rand.
also bei x=0 oder x=10. da bleibt nix anderes übrig, als die zwei Falle anzusehen. Der größere der zwei Werte von A ist dannn das (Rand) Maximum.
Gruss leduart
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Danke leduart, Extremwertaufgaben haben wir schon gerechnet, "solche" Aufgaben sind neu für uns, jetzt kann ich auch den Hinweis unseres Mathelehrers deuten, es entsteht zunächst ein unlogisches Ergebnis, ihr müßt weitere Überlegungen anstellen.
1. Variante:
x=10cm, y=0cm
Scheibe: 90cm x 60cm = [mm] 5400cm^{2}
[/mm]
2. Variante:
x=0cm, y=4cm
Scheibe: 100cm x 56cm = [mm] 5600cm^{2} [/mm] das ist die maximale Variante
Reicht es jetzt zu sagen, die Lösung dieser Extremwertaufgabe liegt nicht im Definitionsbereich, es ist notwendig die "Ränder" des Definitionsbereiches zu untersuchen. Ist "Ränder" der mathematisch exakte Begriff, mir fällt noch Intervallgrenze ein?
Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Guten Morgen!
Ich denke, dass Ränder des Definitionsbereiches schon ok ist. Und deine 2. Variante hat dir ja dann das richtige Ergebnis geliefert!
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Ich sage Danke an alle Beteiligten Zwinkerlippe
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