Moebiusfunktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Mikke |
Guten Morgen!
Also meine Aufgabe ist folgende und soll angeblich ein Einzeilenbeweis sein, aber ich komme nicht darauf.
[mm] \mu(n) [/mm] ist die Moebiusfunktion, also [mm] \mu(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ nicht quadratfrei} \\ -1^{t}, & \mbox{für } n=p_{1}*p_{2}*...*p_{t} \mbox{ quadratfrei} \end{cases}.
[/mm]
Hierzu die Frage: Man zeige die Anzahl der Teiler d von n mit [mm] \mu(d)\not= [/mm] 0 ist eine Zweierpotenz.
Danke schon mal.Bis dahin.
[mm] \fedoffGruß [/mm] Mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 15.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Mikke!
> Also meine Aufgabe ist folgende und soll angeblich ein
> Einzeilenbeweis sein, aber ich komme nicht darauf.
> [mm]\mu(n)[/mm] ist die Moebiusfunktion, also [mm]\mu(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ nicht quadratfrei} \\ -1^{t}, & \mbox{für } n=p_{1}*p_{2}*...*p_{t} \mbox{ quadratfrei} \end{cases}.[/mm]
>
> Hierzu die Frage: Man zeige die Anzahl der Teiler d von n
> mit [mm]\mu(d)\not=[/mm] 0 ist eine Zweierpotenz.
Funktioniert das nicht genauso wie wenn ich zeige, daß die Ordnung der Potenzmenge eine Zweierpotenz ist? Man nimmt alle Primteiler von n und baut daraus die entsprechenden d's zusammen..
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Mikke |
Ja dankeschön, nur weiß halt nicht genau wie ich das hier machen soll. Kannst Du/ Könnt Ihr mir vielleicht einmal zeigen wie das hier funktioniert?
Gruß Mikke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mi 15.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
Für n = [mm] p_{1}^{r_{1}}*...* p_{t}^{r_{t}} [/mm] ist
[mm] \mu(d) \not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] d = [mm] p_{1}^{s_{1}}*...* p_{t}^{s_{t}} [/mm] mit [mm] s_{i} \in [/mm] {0,1}
oder s = [mm] (s_{1},...,s_{t}) \in [/mm] {0,1}[mm]^{t}[/mm]
Die Zuordnung d <--> s ist bijektiv, also Anzahl der d's = Anzahl der s = [mm] 2^{t}
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Mikke |
Hey danke aber kannst du grad noch mal sagen, warum s jetzt [mm] 2^{t} [/mm] sein muss?
Dankeschön.
MfG Mikke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 15.11.2006 | | Autor: | statler |
Klar!
> Hey danke aber kannst du grad noch mal sagen, warum s jetzt
> [mm]2^{t}[/mm] sein muss?
Die Anzahl der s ist [mm] 2^{t}. [/mm] S ist ein Vektor mit t Komponenten, und für jede Komponente gibt es 2 Möglichkeiten, macht 2*2*...*2 mit t Faktoren.
> Dankeschön.
Bitteschön (oder da nich für)
Dieter
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