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Möbius Transformation: Abbildung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 So 18.05.2014
Autor: photonendusche

Aufgabe
Eine Möbius-Transformation T werde durch die Angaben T(i)=0, T(1)=−i, T(0)=−1
beschrieben.
Worauf wird der erste Quadrant ( Re (z) >0 und Im(z)>0 ) abgebildet?

Die oben beschriebene Bedingung zeigt mir doch nur Achsen an, worauf sollen denn der I.Quadrant dann abgebildet werden ?

        
Bezug
Möbius Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 So 18.05.2014
Autor: fred97


> Eine Möbius-Transformation T werde durch die Angaben
> T(i)=0, T(1)=−i, T(0)=−1
>  beschrieben.
>  Worauf wird der erste Quadrant ( Re (z) >0 und Im(z)>0 )
> abgebildet?
>  Die oben beschriebene Bedingung zeigt mir doch nur Achsen
> an, worauf sollen denn der I.Quadrant dann abgebildet
> werden ?


Berechne doch T mit dem Ansatz: [mm] $T(z)=\bruch{az+b}{cz+d}$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Möbius Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 So 18.05.2014
Autor: photonendusche

Das habe ich gerade gemacht und komme auf:

T(z) [mm] =\bruch{iz+1}{iz-1} [/mm]
Aber es bringt mich auch nicht weiter , oder?

Bezug
                        
Bezug
Möbius Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 So 18.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Das habe ich gerade gemacht und komme auf:

>

> T(z) [mm]=\bruch{iz+1}{iz-1}[/mm]
> Aber es bringt mich auch nicht weiter , oder?

Doch (sonst wäre es nicht angeraten worden!): jetzt musst du dir überlegen, was die einzelnen Verknüpfungen der Funktionsvorschrift bewirken. Fange im Nenner an. Wa macht i*z, was bewirkt die -1, was haben Kehrwert und Inversion am Kreis mit der Gauß'schen Ebene und [mm] \IC [/mm] zu tun, etc.

Also: da muss man einfach ein wenig darüber nachdenken, was da steht. Das wollen wir hier ja nicht einfach so durch eine fertige Antwort unterbinden. :-)

Es ist zwar ziemlich knapp gehalten, aber vielleicht hilft die gute alte []Wikipedia ein wenig weiter bzw. auf die Sprünge?

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Möbius Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 So 18.05.2014
Autor: photonendusche

ich habe mir den Wikipedia Artikel angeschaut, aber ich weiß es immer noch nicht.
Wenn man T(z) aufspaltet ergibt sich:

T(z)= [mm] (iz+1)(\bruch{1}{iz-1}) [/mm]
der erste Term würde demnach für eine Drehstreckung und eine Translation stehen, der zweite Term für eine Inversion, Drehstreckung und Translation ?

Bezug
                                        
Bezug
Möbius Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:20 Mo 19.05.2014
Autor: Leopold_Gast

Eine Möbiustransformation bildet Kreise auf Kreise ab, wobei Geraden als Kreise durch [mm]\infty[/mm] angesehen werden.

Die positive reelle Achse und die positive imaginäre Achse beranden den I. Quadranten. Deren Bilder beranden daher das Bild des I. Quadranten.

Beginnen wir mit dem Kreis durch [mm]0, \operatorname{i}, \infty[/mm]. Das ist also die imaginäre Achse. Die Bilder der drei Punkte unter [mm]T[/mm] sind der Reihe nach [mm]-1,0,1[/mm]. Offenbar liegen diese auf der reellen Achse. Damit wird die imaginäre Achse auf die reelle Achse abgebildet. Man kann noch mehr sagen: Wenn [mm]z[/mm] von [mm]0[/mm] über [mm]\operatorname{i}[/mm] nach [mm]\infty[/mm] läuft, geht [mm]w = T(z)[/mm] die Punkte [mm]-1,0,1[/mm] in dieser Reihenfolge ab. Die positive imaginäre Achse wird also auf die Strecke, die von [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm] begrenzt wird, abgebildet.

Jetzt überlege dir analog, worauf die positive reelle Achse, also der Kreis durch [mm]0,1,\infty[/mm], abgebildet wird.

Bezug
        
Bezug
Möbius Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mo 19.05.2014
Autor: chengler

es muss wohl eine menge aller punkten innerhalb eines halbkreises um null mit dem radius 1 sein (richtung -1, -i, +1)

Bezug
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