Möbius Kreis und zwei Punkte < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei L ein Kreis in $\IC$ ,a,b, zwei Punkte in $\IC\backslash L$. Zeige dass es eine gebrochen lineare Transformation f gibt deren Domäne $L\cup \{a\}$ enthält und welche $f(a)=b$, f(L)= L$ erfüllt. |
Hallo!
Ich habe folgendes gemacht:
Sei K ein Kreis in $\IC$ : $|z-z_{0}|^{2}=r^{2}$
$\gdw (z-z_{0})\overline{z-z_{0}) = r^{2}$
$ \gdw z\overline{z} - \overline{z_{0}}z-z_{0}\overline{z}+z_{0}\overline{z_{0}-r^{2} = 0$ Sei nun $\beta = -\overline{z_{0}}$ und $\gamma = z_{0}\overline{z_{0}} - r^{2} = |z_{0}|^{2}-r^{2} $
$\Rightarrow K:= \{ z \in \IC | z\overline{z}+\beta z + \overline{\beta z} + \gamma = 0\}$
Sei $h_{A}(z) = w = \frac{az+b}{cz+d}$ eine Möbiusabbildung . Dann ist $w^{-1} = z = \frac{dw-b}{-cw+a}$
Das eingesetzt in die Kreisgleichung:
$z\overline{z}+\beta z+ \overline{\beta z } + \gamma = (\frac{dw-b}{-cw+a})(\frac{d\overline{w}-b}{-c\overline{w}+a}) + \beta(\frac{dw-b}{-cw+a}) + \beta(\frac{d\overline{w} - b}{-c\overline{w} + a}) + \gamma = 0$
Es folgt also : $(dw-b)(d\overline{w}-b) + \beta (dw-b) + \beta(d\ovelrine{w}-b) + \gamma = 0$
Bis hierhin habe ich noch gar nichts mit $h_{A}(a_{1})=b_{1}$ gemacht.
MIt $h_{A}(a_{1})=b_{1} = \frac{aa_{1}+b}{ca_{1}+d}$ mit $a_{1},b_{1} \in \IC$
OK, ich habe $h_{A^{-1}}(K)=K$ mit dem einsetzen das entspricht $h_{A}(K)=K $ und noch die zweite Bedingungsgleichung mit den Punkten. Ist das so weit richtig??
Danke für jegliche Aufklärung.
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Do 20.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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