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Forum "Algebra" - Modulo Gleichung Lösen
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Modulo Gleichung Lösen: Frage zu Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Di 28.08.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Finden Sie alle $ [mm] x\in\IZ_{6}, [/mm] $ die die Gleichung lösen:

a) 5x=2 (mod 12)

b) 3x=6 (mod 11)

Hallo,

Für diese Aufgabe kann man ja folgenden Satz verwenden:

Wenn a und m teilerfremd sind, dann besitzt a*x=b (mod m) genau eine Lösung in [mm] \IZ_{m} [/mm] (und unendlich viele dazu kongruente Lösungen). Man erhält sie, indem man beide Seiten der Kongruenzgleichung mit dem multiplikativen Inversen [mm] \bruch{1}{a} [/mm]
von a in [mm] \IZ_{m} [/mm] multipliziert:
[mm] x=\bruch{1}{a}*b [/mm] (mod m).


a)
multiplikative Inverse ist [mm] \bruch{1}{a}=5 [/mm]

In obige Formel einsetzen:
x=5*2 (mod 12) = 10 (mod 12)

Ergebnis stimmt laut Buch. Hier ist alles klar.



b)
multiplikative Inverse ist [mm] \bruch{1}{a}=4 [/mm]

In obige Formel einsetzen:
x=4*6 (mod 11) = 24 (mod 11)

Dies ist aber falsch, denn die Lösung ist laut Buch:
x=2 (mod 11)

Wie kommt man darauf? Was habe ich falsch gemacht?


        
Bezug
Modulo Gleichung Lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Di 28.08.2012
Autor: reverend

Hallo Jack,

Du hast gar nichts falsch gemacht.

> b)
>  multiplikative Inverse ist [mm]\bruch{1}{a}=4[/mm]
>  
> In obige Formel einsetzen:
>  x=4*6 (mod 11) = 24 (mod 11)
>  
> Dies ist aber falsch,

Nein, ist es nicht. Das ist auch eine Lösung.

> denn die Lösung ist laut Buch:
>  x=2 (mod 11)

Allerdings gibt man sie üblicherweise so an wie hier, nämlich mit einer Restklasse [mm] 0\le r\le{m-1}. [/mm]

Auch [mm] x\equiv 5343131873\mod{11} [/mm] wäre eine richtige Lösung, nur dass man der nun wirklich nicht mehr ansieht, dass sie die gleiche Restklasse repräsentiert.

Trotzdem schreibt man [mm] 5343131873\equiv 24\equiv 2\mod{11}, [/mm] was nur heißt: alle drei Zahlen lassen bei Teilung durch 11 den gleichen Rest.

Wenn dieser Rest R aber wie oben gesagt zwischen Null und m-1 liegt sieht, sieht man sofort, dass man keinen kleineren positiven Rest finden kann, der die gleiche Restklasse repräsentiert.

Man verwendet darum übrigens auch kein Gleichheitszeichen, sondern das Äquivalenzzeichen [mm] \equiv. [/mm] In LaTeX (und damit auch hier) schreibt man es \equiv.

Grüße
reverend

> Wie kommt man darauf? Was habe ich falsch gemacht?
>  


Bezug
                
Bezug
Modulo Gleichung Lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Di 28.08.2012
Autor: Jack159

Hallo reverend,

Vielen dank ;)

Bezug
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