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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Do 12.04.2012 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass (M,+) mit [mm]M=\{ax+by+cz|x,y,z \in \IZ \}[/mm] ein Modul von [mm]\IZ[/mm] ist.
Um welchen Modultyp (d.h. [mm]M=m \IZ[/mm] mit [mm]m \in \IN[/mm], m=?) handelt es sich? |
ich grübel grade an der 2. Frage.
Ich weiß, dass jeder Modul aus den ganzzahligen Vielfachen seiner kleinsten positiven Zahl besteht. Ich frage mich also gerade was denn diese kleinste Zahl ist, die ich als Linearkombination von 3 Zahlen darstellen kann.
Erst dachte ich es sei das Minimum von a,b,c. Aber das kann man mit Zahlenbeispiele leicht widerlegen (2,3,7 dann ist 1=2*2-1*3+0*7).
Ich vermute, dass es der ggT(a,b,c) ist. Der lässt sich auf jedenfall als Linearkombination von a,b,c mit ganzzahligen Vorfaktoren darstellen, aber ist das auch die kleinste Zahl...?
oder kann man die 1 sogar immer darstellen? Nein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Fr 13.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass (M,+) mit [mm]M=\{ax+by+cz|x,y,z \in \IZ \}[/mm]
> ein Modul von [mm]\IZ[/mm] ist.
> Um welchen Modultyp (d.h. [mm]M=m \IZ[/mm] mit [mm]m \in \IN[/mm], m=?)
> handelt es sich?
>
> ich grübel grade an der 2. Frage.
> Ich weiß, dass jeder Modul aus den ganzzahligen
> Vielfachen seiner kleinsten positiven Zahl besteht. Ich
> frage mich also gerade was denn diese kleinste Zahl ist,
> die ich als Linearkombination von 3 Zahlen darstellen
> kann.
>
> Erst dachte ich es sei das Minimum von a,b,c. Aber das kann
> man mit Zahlenbeispiele leicht widerlegen (2,3,7 dann ist
> 1=2*2-1*3+0*7).
> Ich vermute, dass es der ggT(a,b,c) ist.
Das stimmt.
> Der lässt sich auf jedenfall als Linearkombination von a,b,c mit
> ganzzahligen Vorfaktoren darstellen, aber ist das auch die
> kleinste Zahl...?
Das musst du zeigen. Sei $M = m [mm] \IZ$ [/mm] und sei $ggT(a, b, c) = d$, und $d = [mm] \lambda_1 [/mm] a + [mm] \lambda_2 [/mm] b + [mm] \lambda_3 [/mm] c$ mit [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IZ$.
[/mm]
Wegen $d = [mm] \lambda_1 [/mm] a + [mm] \lambda_2 [/mm] b + [mm] \lambda_3 [/mm] c$ gilt $d [mm] \in [/mm] M$, also $m [mm] \mid [/mm] d$.
Weiterhin gibt es [mm] $\mu_1, \mu_2, \mu_3 \in \IZ$ [/mm] mit $m = [mm] \mu_1 [/mm] a + [mm] \mu_2 [/mm] b + [mm] \mu_3 [/mm] c$. Wegen $d [mm] \mid [/mm] a$, $d [mm] \mid [/mm] b$, $d [mm] \mid [/mm] c$ kannst du $d [mm] \mid [/mm] m$ folgern.
Also gilt $m [mm] \mid [/mm] d$ und $d [mm] \mid [/mm] m$. Was folgt daraus?
> oder kann man die 1 sogar immer darstellen? Nein, oder?
Nein. Gegenbeispiel: $a = b = c = 2$. Dann ist $M = 2 [mm] \IZ$ [/mm] und 1 kann nicht so dargestellt werden.
LG Felix
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