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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 21.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien K ein Körper, R=K[X] und S [mm] \subset [/mm] R ein Unterring, der K enthält, aber S [mm] \not=K. [/mm] Man beweise, dass R ein endlich-erzeugter S-Modul ist, wobei die Skalarmultiplikation die Einschränkung der Multiplikation in R ist. |
Hallo zusammen^^
Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe. Verstehe ich das richtig, dass R der Ring der Polynome ist und X jeweils ein polynom darstellt?
Wenn R ein endlich erzeugter S-Modul ist, dann gilt [mm] R=S*r_{1}+...+S+r_{k}. [/mm] So, jetzt müsste ich zeigen, dass solche [mm] r_{1},...,r_{k} [/mm] existieren. Ich hab leider überhaupt keine Ahnung,wie ich hier anfangen soll, es wird ja auch nichts näheres über R,S oder K verraten.
Ich denke ich muss hier irgendwie mit dem Unterring S argumentieren,aber eine richtige Idee habe ich nicht. Hat jemand eine Idee, in welche Richtung ich hier argumentieren muss?
Vielen Dank
lg
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> Seien K ein Körper, R=K[X] und S [mm]\subset[/mm] R ein Unterring,
> der K enthält, aber S [mm]\not=K.[/mm] Man beweise, dass R ein
> endlich-erzeugter S-Modul ist, wobei die
> Skalarmultiplikation die Einschränkung der Multiplikation
> in R ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe. Verstehe ich das
> richtig, dass R der Ring der Polynome ist und X jeweils ein
> polynom darstellt?
Hallo,
in R sind alle Polynome mit der Variablen X und Koeffizienten aus K.
>
> Wenn R ein endlich erzeugter S-Modul ist, dann gilt
> [mm]R=S*r_{1}+...+S*r_{k}.[/mm] So, jetzt müsste ich zeigen, dass
> solche [mm]r_{1},...,r_{k}[/mm] existieren. Ich hab leider
> überhaupt keine Ahnung,wie ich hier anfangen soll, es wird
> ja auch nichts näheres über R,S oder K verraten.
>
> Ich denke ich muss hier irgendwie mit dem Unterring S
> argumentieren,
Ja, ich denke auch, daß man sich über diesen Gedanken machen muß.
> aber eine richtige Idee habe ich nicht. Hat
> jemand eine Idee, in welche Richtung ich hier argumentieren
> muss?
Ich kenne mich nicht (mehr?) gut aus, aber nachdem bisher kein anderer geantwortet hat, versuche ich mich mal als Lieferantin von Ideen.
Du solltest versuchen, alles, was ich sage, anhand Deiner Unterlagen zu verifizieren. Glaub' mir nicht "einfach so"!
S ist ein Unterring von K[X], welcher K enthält.
K[X] ist ein Hauptidealring. Also ist auch S ein Hauptidealring.
Es ist S=K[p], wobei [mm] p\in [/mm] K[X] mit grad [mm] p\le [/mm] 1.
Behauptung: es wird der gesuchte Modul erzeugt von [mm] \{1,X,X^2,..., X^{(grad p) - 1}\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Angela,
> Ich kenne mich nicht (mehr?) gut aus, aber nachdem bisher
> kein anderer geantwortet hat, versuche ich mich mal als
> Lieferantin von Ideen.
> Du solltest versuchen, alles, was ich sage, anhand Deiner
> Unterlagen zu verifizieren. Glaub' mir nicht "einfach so"!
Ok, vielen Dank erstmal dafür, dass du trotzdem versuchst zu helfen!
>
> S ist ein Unterring von K[X], welcher K enthält.
> K[X] ist ein Hauptidealring. Also ist auch S ein
> Hauptidealring.
> Es ist S=K[p], wobei [mm]p\in[/mm] K[X] mit grad [mm]p\le[/mm] 1.
Das letzte verstehe ich nicht mehr ganz. Wieso muss denn der Grad von p [mm] \le [/mm] 1 sein?
>
> Behauptung: es wird der gesuchte Modul erzeugt von
> [mm]\{1,X,X^2,..., X^{(grad p) - 1}\}[/mm]
Wieso wird denn auf einmal ein Modul gesucht? Wenn man sagt, dass der Modul von dieser Menge erzeugt wird, dann hat man doch schon bewiesen, dass er endlich erzeugt ist. Oder wie meinst du das?
Vielen Dank
lg
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> >
> > S ist ein Unterring von K[X], welcher K enthält.
> > K[X] ist ein Hauptidealring. Also ist auch S ein
> > Hauptidealring.
> > Es ist S=K[p], wobei [mm]p\in[/mm] K[X] mit grad [mm]p\le[/mm] 1.
>
> Das letzte verstehe ich nicht mehr ganz. Wieso muss denn
> der Grad von p [mm]\le[/mm] 1 sein?
Hallo,
das ist ein Schreibfehler. "grad p [mm] \ge [/mm] 1" muß es natürlich heißen.
> >
> > Behauptung: es wird der gesuchte Modul erzeugt von
> > [mm]\{1,X,X^2,..., X^{(grad p) - 1}\}[/mm]
>
> Wieso wird denn auf einmal ein Modul gesucht?
Nun gut, vielleicht ein Formulierungsfehler.
Besser: "der besagte Modul"
> Wenn man
> sagt, dass der Modul von dieser Menge erzeugt wird, dann
> hat man doch schon bewiesen, dass er endlich erzeugt ist.
> Oder wie meinst du das?
Nein. Mit sagen allein ist es nicht getan.
Du (!) mußt beweisen, daß das genannte System ein Erzeugendensystem ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Behauptung: es wird der gesuchte Modul erzeugt von
> > > [mm]\{1,X,X^2,..., X^{(grad p) - 1}\}[/mm]
Geht man deswegen hier bis grad(p)-1 und nicht bis grad(p),weil man [mm] X^{grad(p)} [/mm] durch die o.g. Menge darstellen kann?
> > Wenn man
> > sagt, dass der Modul von dieser Menge erzeugt wird, dann
> > hat man doch schon bewiesen, dass er endlich erzeugt ist.
> > Oder wie meinst du das?
>
> Nein. Mit sagen allein ist es nicht getan.
> Du (!) mußt beweisen, daß das genannte System ein
> Erzeugendensystem ist.
Ok. Ich habe es bewiesen und würde gerne wissen ob das so stimmt.
Ich weiß nicht,ob man das hier braucht, aber zunächst habe ich die Lineare Unabhängigkeit gezeigt. Ich hab einfach für alle X 1 eingesetzt und daraus folgt, dass die [mm] a_{i} [/mm] vor den X alle 0 sein müssen.
Ich hab mir das so überlegt, dass das genannte System eine Basis bzw. ein Erzeugendensystem von S bildet,weil ja S=K[p], p [mm] \in [/mm] K[X].
So,jetzt weiß ich, dass S ein Unterring von R ist. Deswegen ist das genannte System ein Erzeugendensystem von R. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob es ein minimales Erzeugendensystem ist.
Kann man so argumentieren?
Vielen Dank
lg
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> > > > Behauptung: es wird der gesuchte Modul erzeugt von
> > > > [mm]\{1,X,X^2,..., X^{(grad p) - 1}\}[/mm]
>
> Geht man deswegen hier bis grad(p)-1 und nicht bis
> grad(p),
Hallo,
was "man" hier tut, weiß ich nicht.
Ich habe das so gemacht, weil ich festgestellt habe, daß ich [mm] X^{grad p} [/mm] im Erzeugendensystem nicht brauche.
Aber es scheint mir nicht falsch zu sein, wenn man es dabei hat.
> weil man [mm]X^{grad(p)}[/mm] durch die o.g. Menge
> darstellen kann?
Verstehe ich nicht.
> > Du (!) mußt beweisen, daß das genannte System ein
> > Erzeugendensystem ist.
> Ich weiß nicht,ob man das hier braucht, aber zunächst
> habe ich die Lineare Unabhängigkeit gezeigt.
Die brauchst Du nicht. Es geht ja bloß um "Erzeugendensystem".
> Ich hab
> einfach für alle X 1 eingesetzt und daraus folgt, dass die
> [mm]a_{i}[/mm] vor den X alle 0 sein müssen.
Dieser Schluß will mir nicht recht einleuchten.
> Ich hab mir das so überlegt, dass das genannte System
> eine Basis bzw. ein Erzeugendensystem von S bildet,
Wir suchen doch kein Erzeugendensystem von S!
> weil ja
> S=K[p], p [mm]\in[/mm] K[X].
> So,jetzt weiß ich, dass S ein Unterring von R ist.
> Deswegen ist das genannte System ein Erzeugendensystem von
> R.
Das ist bisher lediglich eine Behauptung.
Wie kann man denn nun die Elemente von R erzeugen?
> Ich bin mir nicht ganz sicher, ob es ein minimales
> Erzeugendensystem ist.
Das mußt Du ja überhaupt nicht liefern, aber ich denke schon, daß "meine" Menge minimal ist, denn man kann auf keins der Elemente verzichten.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> was "man" hier tut, weiß ich nicht.
> Ich habe das so gemacht, weil ich festgestellt habe, daß
> ich [mm]X^{grad p}[/mm] im Erzeugendensystem nicht brauche.
> Aber es scheint mir nicht falsch zu sein, wenn man es
> dabei hat.
>
> > Ich hab
> > einfach für alle X 1 eingesetzt und daraus folgt, dass die
> > [mm]a_{i}[/mm] vor den X alle 0 sein müssen.
>
> Dieser Schluß will mir nicht recht einleuchten.
Ich meine so: [mm] a_{1}*1+a_{2}*X+...+a_{k}*X^{deg(p)-1}=0. [/mm] Wenn ich jetzt für jedes X=1 einsetze,folgt, dass die [mm] a_{i}=0 [/mm] sein müssen. Aber das brauche ich ja nicht.
>
> > Ich hab mir das so überlegt, dass das genannte System
> > eine Basis bzw. ein Erzeugendensystem von S bildet,
>
> Wir suchen doch kein Erzeugendensystem von S!
Ich weiß, aber ich dachte man könnte damit argumentieren.
>
> > weil ja
> > S=K[p], p [mm]\in[/mm] K[X].
> > So,jetzt weiß ich, dass S ein Unterring von R ist.
> > Deswegen ist das genannte System ein Erzeugendensystem von
> > R.
>
> Das ist bisher lediglich eine Behauptung.
> Wie kann man denn nun die Elemente von R erzeugen?
Die Elemente von R werden doch so erzeugt:
Es ist R=K[X], also die Elemente von R sind Polynome. Und im Allgemeinen erzeugt man ein Polynom n-ten Grades eben durch [mm] a_{n}*X^{n}+...+a*x+a_{0}1=p(X). [/mm]
Und es ist ja R=K[X] und wir wissen schon, dass K in S enthalten ist und dass die [mm] a_{i} \in [/mm] K sind, aber S [mm] \not=K. [/mm] Wenn jetzt K in S enthalten ist und R=K[X] ist, dann ist R schonmal ein S-Modul.
Und endlich erzeugt ist R deswegen, weil S [mm] \not=K [/mm] ist.
Geht das so ungefähr in die richtige Richtung?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 So 24.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Eigentlich ist das auch eine Frage.
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> Ich meine so: [mm]a_{1}*1+a_{2}*X+...+a_{k}*X^{deg(p)-1}=0.[/mm]
> Wenn ich jetzt für jedes X=1 einsetze,folgt, dass die
> [mm]a_{i}=0[/mm] sein müssen.
Hallo,
ich sehe bloß, daß [mm] a_1+...+a_k=0 [/mm] folgt.
> > Wie kann man denn nun die Elemente von R erzeugen?
>
> Die Elemente von R werden doch so erzeugt:
> Es ist R=K[X], also die Elemente von R sind Polynome. Und
> im Allgemeinen erzeugt man ein Polynom n-ten Grades eben
> durch [mm]a_{n}*X^{n}+...+a*x+a_{0}1=p(X).[/mm]
So sehen die Elemente von R aus.
Es geht nun darum, daß wir R=K[X] hier als S-Modul betrachten, und von diesem S-Modul suchen wir ein Erzeugendensystem.
Ein Angebot für ein Erzeugendensystem habe ich ja bereits gemacht.
Die Frage ist nun: kann man jedes Polynom aus dem K[X] als S-Linearkombination der genannten Menge schreiben, wenn ja, warum bzw. wie?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > im Allgemeinen erzeugt man ein Polynom n-ten Grades eben
> > durch [mm]a_{n}*X^{n}+...+a*x+a_{0}1=p(X).[/mm]
>
> So sehen die Elemente von R aus.
> Es geht nun darum, daß wir R=K[X] hier als S-Modul
> betrachten, und von diesem S-Modul suchen wir ein
> Erzeugendensystem.
>
> Ein Angebot für ein Erzeugendensystem habe ich ja bereits
> gemacht.
Ja.
> Die Frage ist nun: kann man jedes Polynom aus dem K[X] als
> S-Linearkombination der genannten Menge schreiben, wenn ja,
> warum bzw. wie?
Ich würde sagen, dass man jedes Polynom [mm] \in [/mm] K[X] als S-Linearkombination der genannten Menge schreiben kann, weil man sich die Koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] aus dem Körper K nimmt, welcher ja in S enthalten ist. Und wie man die Polynome schreiben kann, hab ich eigentlich schon gesagt, indem man sich diese Koeffizienten nimmt und sie mit dem gegebenen Erzeugendensystem multipliziert,also [mm] a_{n}*X^{n}+...+a*x+a_{0}1=p(X).
[/mm]
Wenn es das nicht ist, dann weiß ich auch nicht.
Vielen Dank
lg
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> Hallo,
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> > > im Allgemeinen erzeugt man ein Polynom n-ten Grades eben
> > > durch [mm]a_{n}*X^{n}+...+a*x+a_{0}1=p(X).[/mm]
> >
> > So sehen die Elemente von R aus.
> > Es geht nun darum, daß wir R=K[X] hier als S-Modul
> > betrachten, und von diesem S-Modul suchen wir ein
> > Erzeugendensystem.
> >
> > Ein Angebot für ein Erzeugendensystem habe ich ja bereits
> > gemacht.
>
> Ja.
> > Die Frage ist nun: kann man jedes Polynom aus dem K[X]
> als
> > S-Linearkombination der genannten Menge schreiben, wenn ja,
> > warum bzw. wie?
>
> Ich würde sagen, dass man jedes Polynom [mm]\in[/mm] K[X] als
> S-Linearkombination der genannten Menge schreiben kann,
> weil man sich die Koeffizienten [mm]a_{i}[/mm] aus dem Körper K
> nimmt, welcher ja in S enthalten ist. Und wie man die
> Polynome schreiben kann, hab ich eigentlich schon gesagt,
> indem man sich diese Koeffizienten nimmt und sie mit dem
> gegebenen Erzeugendensystem multipliziert,also
> [mm]a_{n}*X^{n}+...+a*x+a_{0}1=p(X).[/mm]
> Wenn es das nicht ist, dann weiß ich auch nicht.
Hallo,
kannst Du jetzt erstmal mal sagen, welcher Gestalt die Elemente in S:=K[p] sind?
Machen wir's jetzt mal ein wenig konkreter und nehmen [mm] S:=K[X^3+4X+7].
[/mm]
Meine Behauptung war ja, daß [mm] (1,X,X^2) [/mm] ein Erzeugendensystem des Moduls K[X] über [mm] K[X^3+4X+7] [/mm] ist.
Zeigen müßtest Du nun, daß man jedes Element aus K[X] als [mm] K[X^3+4X+7]-Linearkombination [/mm] von [mm] (1,X,X^2) [/mm] schreiben kann.
Wie gelingt einem das für [mm] p_1=x+1, p_2= X^3+X^2+1, p_4=x^{16}+X^{15}+X^9+X^4+2?
[/mm]
Dies sind meinem Verständnis nach die Fragen, über die hier nachzudenken ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Angela,
erstmal muss ich dir für deine Geduld danken, ich weiß ich tu mich grad etwas schwer mit der Aufgabe.
> Hallo,
>
> kannst Du jetzt erstmal mal sagen, welcher Gestalt die
> Elemente in S:=K[p] sind?
Also Es ist doch R=K[X] und die Elemente von R sind Polynome in der Unbestimmten X,z.B. ist p ein Polynom. Jetzt hab ich S:=K[p]. Analog zu R könnte man jetzt schließen, dass die Elemente aus S Polynome in dem Unbestimmten Polynom p sind, was aber recht wenig Sinn macht.
Deswegen würde ich sagen, dass ein Element aus S so aussieht [mm] a*(X^{3}+4X+7).
[/mm]
> Machen wir's jetzt mal ein wenig konkreter und nehmen
> [mm]S:=K[X^3+4X+7].[/mm]
>
> Meine Behauptung war ja, daß [mm](1,X,X^2)[/mm] ein
> Erzeugendensystem des Moduls K[X] über [mm]K[X^3+4X+7][/mm] ist.
>
> Zeigen müßtest Du nun, daß man jedes Element aus K[X]
> als [mm]K[X^3+4X+7]-Linearkombination[/mm] von [mm](1,X,X^2)[/mm] schreiben
> kann.
>
> Wie gelingt einem das für [mm]p_1=x+1, p_2= X^3+X^2+1, p_4=x^{16}+X^{15}+X^9+X^4+2?[/mm]
>
Ich würde dann folgenden Ansatz wählen:
[mm] p_{1}=X+1=a*1*(X^{3}+4X+7)+b*X*(X^{3}+4X+7)+c*X^{2}*(X^{3}+4X+7).
[/mm]
Wenn ich das aber ausrechne und versuche X+1 rauszubekommen, dann funktioniert es nicht, also kann das nicht stimmen.
Dann habe ich wohl die Elemente aus S=K[p] falsch verstanden.
Aber soviel kann man doch sagen, dass die Elemente aus S Polynome sind, da S ein Unterring von R ist oder nicht?
Vielen Dank
lg
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> Jetzt hab ich S:=K[p].
> Deswegen würde ich sagen, dass ein Element aus S so
> aussieht [mm]a*(X^{3}+4X+7).[/mm]
Hallo,
wenn das so wäre, hätte ich etwas gründlich falschgemacht, denn es war ja gefordert, daß [mm] K\subseteq [/mm] S gilt, was bei Deiner Interpretation schonmal nicht der Fall ist.
Auch wäre mal zu überlegen, ob das von Dir präsentierte Gebilde überhaupt ein Ring ist...
Die Elemente von K[p] sehen so aus: [mm] \summe_{i=0}^ka_ip^i,
[/mm]
in meinem Beispiel also [mm] \summe_{i=0}^ka_i(X^3+4X+7)^i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Di 26.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
>
> > Jetzt hab ich S:=K[p].
>
> > Deswegen würde ich sagen, dass ein Element aus S so
> > aussieht [mm]a*(X^{3}+4X+7).[/mm]
>
> Hallo,
>
> wenn das so wäre, hätte ich etwas gründlich
> falschgemacht, denn es war ja gefordert, daß [mm]K\subseteq[/mm] S
> gilt, was bei Deiner Interpretation schonmal nicht der Fall
> ist.
> Auch wäre mal zu überlegen, ob das von Dir präsentierte
> Gebilde überhaupt ein Ring ist...
>
> Die Elemente von K[p] sehen so aus: [mm]\summe_{i=0}^ka_ip^i,[/mm]
> in meinem Beispiel also [mm]\summe_{i=0}^ka_i(X^3+4X+7)^i.[/mm]
Ok. Ich glaube, ich belass es jetzt mal dabei und versuche die Aufgabe vielleicht später nochmal.
Dir jedenfalls nochmal vielen,vielen Dank für die Mühe.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Sa 23.04.2011 | | Autor: | wieschoo |
[edit] Ich hatte den Beitrag von Angela nicht bis zum Ende gelesen. Sorry.
Die Antwort von Angela ist genau die Begründung.
@angela.h.b.
> Du solltest versuchen, alles, was ich sage, anhand Deiner Unterlagen zu verifizieren. Glaub' mir nicht "einfach so"!
Deine Aussagen stimmen.
Wenn S aber auch ein Hauptideal ist, dann gibt es auch hier nur einen Erzeuger.
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