Modellbildung Wassertank < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Fr 01.08.2008 | | Autor: | magmaa |
| Aufgabe | Tank Durchmesser D mit Zufluss und Abfluss.
Pro Zeiteinheit wird eine konstante Wassermenge Qzu [kg/s] zugeführt.
Die Menge der auslaufenden Flüssigkeit ist proportional zu Füllhöhe h im Tank und sei durch einen Strömungswiderstand R [m/(kg/s)] charakterisiert so das Qab = h/R
Höhe des Tankes ist immer > h Problematik des Überlaufen wird nicht betrachtet.
Werte: D = 10cm, Qzu = 5kg/s, R= 0,1m/(kg/s), Wasser: roh = 10³kg/m³
Anfangsbedingung: h(0)=0
a) formulieren der Speichergleichung für den Tank mit der Füllhöhe h(t) als Variable
b) Flussbilanz und daraus die Differentialgleichung für h(t)
c) Vereinfachen der DGL aus b) für den stationären Fall und berechnen Sie h0 (Zahlenwert). Ist h(t) = h(0) eine Lösung der DGL aus Aufgabe b) ? Welche?
d) Lösen Sie die DGL und geben Sie den Ausdruck für h(t) für o.g. Anfangsbedingungen an.Geben Sie den Zahlenwert für die Zeitkonstante an.
e) Zeichen Sie ein elektrisches Ersatzschaltbild für die Konfiguration und gegeben Sie an, welche Werte die Bauelemente besitzen könnten, dass das Zeitverhalten zu dem des Tankes identisch wird.
|
Hallo ich habe folgende Übungsaufgabe zu Modellbildung eines Wassertankes die ich Lösen möchte. Nur leider ist Modellbildung nicht ganz mein Steckenpferd drum hoffe ich das mir jemand bei der Aufgabe weiter Helfen kann.
Also zu a) hab ich mal folgendes aufgestellt
[mm] \_V=h*D
[/mm]
[mm] \_V'=h'*D
[/mm]
Speichergleichung hab ich dann:
[mm] \_D*h'=Q_{zu}-Q_{ab}
[/mm]
[mm] \_D*h'=Q_{zu}-\bruch{h}{R}
[/mm]
passt das soweit?
|
|
| |
|
Hallo!
Bis hier hin ist alles richtig, allerdings frage ich mich, was du mit dem Unterstrich vor den Variablen bezweckst...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 01.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Die Unterstriche haben nix zu sagen aber ich sehe gerade eigentlich ist das Volumen ja die Fläche mal Höhe.
Also müsste es doch richtig heißen:
[mm] $A=\bruch{1}{4}\pi*D^{2}$
[/mm]
und [mm] $A*\dot h=Q_{zu}*\delta-\bruch{h}{R}$
[/mm]
zu b) hab ich mir folgendes gedacht
[mm] \delta [/mm] = roh vom Wasser
[mm] $A*\delta*\dot h=Q_{zu}-\bruch{h}{R}*\delta$
[/mm]
passt das?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Da hast du tatsächlich recht, da fehlt noch der Faktor [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] drin.
Auch das [mm] \delta [/mm] kannst du gerne rein schreiben, damit das mit den Einheiten hin kommt. Für die Rechnung ist das allerdings nicht so wichtig, da [mm] \delta=1 [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 01.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Ah ok und wie komme ich jetzt auf die Flussbilanz?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 01.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Flussbilanz wird wohl die Differenz aus Zufluss und Abfluss sein. Und genau das ist doch dann mit Hilfe deiner Gleichungen die zeitliche Änderung von h, also [mm] $\dot{h}$.
[/mm]
Denn: [mm] $\dot{h}$ [/mm] kann man doch dann direkt auf die Flussbilanz zurückführen. Geht mehr Wasser rein als raus geht h hoch, im anderen Fall sinkt h. Wenn das ganze stationär ist, also genau so viel rein wie rausgeht, ist h=const.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 01.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Das heiß also das Speichergleichung und Flussbilanz das gleich ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Fr 01.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die genauen Begriffe kenne ich nicht, haber aber das gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Hier steht zur Speichergleichung:
"Gleichung, die das Verhältnis zwischen Einlauf, Auslauf und Speicheränderung eines Wasserkörpers innerhalb eines Zeitraumes ausdrückt."
D.h. es ist wohl nicht das selbe, aber wenn man die a) kann, kann man daraus sehr schnell die b) herleiten.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 01.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Danke für die Nachforschung aber mir ist jetzt immer noch nicht klar wie oder was nun der Unterschied ist bzw. wie ich von a) nach b) bekomme.
Gibt es da einen Ansatz für mich?
|
|
|
| |
|
a) Speichergleichung: Wieviel ist im Speicher?
[mm] M=\rho [/mm] * [mm] Volumen=\rho*\pi*D^2/4*h [/mm] (abhängig von h)
b) Flussbilanz:
[mm] dM/dt=Q_{zu}-Q_{ab}
[/mm]
[mm] \rho*\pi*D^2/4*dh/dt=Q_{zu}-Q_{ab}=Q_{zu}-h/R
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Sa 02.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Ok Danke, also hab ich schon unwissentlich bei a) die Lösung von b) gemacht.
So hab jetzt mal das Blockschaltbild erstellt passt das?
[Dateianhang nicht öffentlich]
und für c) stationärer Fall hab ich folgendes
[mm] \bruch{d}{dt}=0 [/mm]
[mm] $0=Q_{zu}-\bruch{h}{R}$
[/mm]
[mm] $h=Q_{zu}*R=5kg/s*0,1m*s/kg=0,5m$
[/mm]
Aber mit der Frage ist [mm] $h(t)=h_{0}$ [/mm] eine Lösung der DGL aus Aufgabe b? Welche? damit kann ich nix mit anfangen.!?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 03.08.2008 | | Autor: | Kroni |
> Ok Danke, also hab ich schon unwissentlich bei a) die
> Lösung von b) gemacht.
>
> So hab jetzt mal das Blockschaltbild erstellt passt das?
Dazu kann ich leider momentan weniger sagen, habe das Bild das alles jetzt nicht im Kopf, schaue es mir vtl. später an.
>
> und für c) stationärer Fall hab ich folgendes
>
> [mm]\bruch{d}{dt}=0[/mm]
>
>
> [mm]0=Q_{zu}-\bruch{h}{R}[/mm]
>
> [mm]h=Q_{zu}*R=5kg/s*0,1m*s/kg=0,5m[/mm]
Ja, das scheint zu passen.
>
> Aber mit der Frage ist [mm]h(t)=h_{0}[/mm] eine Lösung der DGL aus
> Aufgabe b? Welche? damit kann ich nix mit anfangen.!?
Du hast ja als Lösung rausbekommen [mm] $h(t)=const.=Q_{zu}*R$
[/mm]
Jetzt mal diese Lösung in deine DGL einstezen, und gucken, ob diese durch deine Fkt. gelöst wird. Wenn ja, muss da hinterher was stehen wie 1=1 oder sowas.
Was wahrscheinlich mit der Frage "welche" gefragt wird, ist folgendes:
Du kannst eine inhomogene DGL lösen (deine ist ja inhomogen), indem man eine Lösung der homogenen Lsg. sucht, und dann eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Dann beide Lösungen addieren, und man hat die gesamte Lösung der DGL.
Also solltest du gucken, ob deine Lösung eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL ist, oder ob das eine Lösung der dazugehörigen homogenen DGL ist.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 03.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Ok die DGL hab ich mal gelöst https://www.vorhilfe.de/read?t=432705
und zu Aufgabe f) habe ich mir folgendes gedacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich denke das damit die Aufgabe gelöst ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 03.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
habs nicht weiter nachgerechnet, aber an einen Kondensator, der aufgeladen wird, habe ich mir auch überlegt. Genau so muss das sein, denn die DGL schaut dann ja auch aus wie:
[mm] $U=\frac{Q}{C}+RI$
[/mm]
Jetzt muss man aber noch aufpassen, wenn U=const. dann würde die DGL ja lauten:
[mm] $0=\frac{I}{C}+R\dot{I}$, [/mm] und das wäre dann ja nicht deine DGL, weil diese homogen ist. D.h. dein U darf nicht konstant sein.
Denn wenn wir das Umstellen, stünde da ja dann:
[mm] $\dot{I}=-\frac{1}{RC}I$, [/mm] und du brauchst ja noch die Inhomogenität, d.h. U muss irgendeine lineare Abhängigkeit haben, damit [mm] $\dot{U}=const$ [/mm] gilt.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
Das Schaltbild kann ich so nicht mit den Größen der DGL. identifizieren, deshalb hier ein passenderes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ist [mm] U_o [/mm] = [mm] U_R+ U_C [/mm] = R*I+Q/C (Q=Kondensator-Ladung, hat mit dem anderen Q nichts zu tun).
Wegen [mm] I=\dot{Q} [/mm] erhält man damit [mm] U_o [/mm] = [mm] R*\dot{Q}+Q/C
[/mm]
Division durch R gibt nun
[mm] U_o/R [/mm] = [mm] \dot{Q}+Q/(CR) [/mm] oder [mm] \dot{Q} [/mm] = [mm] U_o/R [/mm] - Q/(CR)
Damit entspricht: das h der Aufgabe der Kondensatorladung Q, das [mm] U_o/R [/mm] dem [mm] Q_{zu} [/mm] und das CR dem R in eindeutiger Weise.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
