Mittelwertsatz der Diff. rechn < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 So 22.10.2006 | | Autor: | DLH350 |
| Aufgabe | Gibt es bei einer differenzierbaren Funktion zu jeder Tangente eine parallele Sekante (Umkehrproblem)?
Führe den Beweis |
Hallo Leute,
habe mir die Aufgabe soeben angeschaut und stehe ein wenig auf dem Schlauch! Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Wie geht denn der Beweis?
Vielen Dank!
Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 22.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo DLH
Ein einziges Gegenbeispiel entkräftet jeden Satz! Betrachte [mm] f(x)=x^3 [/mm] ;Tangente im Nullpunkt, Sekante wo?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 22.10.2006 | | Autor: | DLH350 |
Ja genau,
bloß wie führe ich den Beweis?
Also cih schreibe zunächst
Voraussetzung
Behauptung
Nur was schreibe ich jetzt als Beweisschritte?
Ich kann leider nicht "einfach" nur auf eine Skizze verweisen... (so toll es wäre... :))
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Theoretisch kannst du einfach sagen, daß dies ein Gegenbeispiel ist, dann soll die dein Lehrer erstmal das Gegenteil beweisen 
Aber genug der Späße, nun zum Beweis: *g*
Behauptung: Der Satz gilt nicht.
z.z. es existiert Funktion und ein [mm] x_0, [/mm] so daß zu der Tangente an [mm] x_0 [/mm] keine parallele Sekante gefunden werden kann.
Beweis:
Sei [mm]f(x) = x^3[/mm](erfüllt die Bedingungen des Hauptsatzes der Differentialrechnung für alle [mm]a,b \in \IR, a
=> [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] 3x_0^2 [/mm] = 0
Da [mm] x_0=0 [/mm] aus dem Intervall (a,b) kommen soll und [mm]a
[mm]a<0[/mm]
[mm]b>0[/mm]
Daraus folgt:
[mm]f(a)<0[/mm]
[mm]f(b)>0 [/mm]
[mm]b-a > 0 [/mm]
Dann gilt:[mm]f(b) - f(a) > 0 [/mm]
Und somit:[mm]\bruch{f(b) - f(a)}{b-a} > 0 [/mm]
Nun gilt also:
[mm]f'(x_0) = 0[/mm] und [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a} > 0[/mm]
D.h. es gibt kein Intervall (a,b), das [mm] x_0 [/mm] enthält und für das gilt:
[mm]f'(x_0) = \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm]
Damit ist der Satz widerlegt 
Wenn noch Fragen sind, einfach stellen.
Gruß,
Gono.
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