Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 10.06.2012 | | Autor: | Blaubart |
| Aufgabe | Ist die folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes für skalarwertige Funktionen auf di fferenzierbare Abbildungen [mm] \vec{c}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR^{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] und a, b [mm] \in \IR, [/mm] a < b richtig?
Ist [mm] \vec{c}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR^{n} [/mm] stetig di fferenzierbar, dann gibt es eine Zwischenstelle z [mm] \in [/mm] (a,b) mit [mm] \vec{c}(b)-\vec{c}(a)= \vec{c}'(z)(b-a)
[/mm]
Begründen Sie entweder, weshalb diese Aussage gilt, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
Bemerkung: Stetige Abbildungen [mm] \vec{c}: [/mm] [a; b] [mm] \to \IR^{n } [/mm] werden auch Kurven bzw. Parameterdarstellungen von Kurven im [mm] \IR^{n } [/mm] genannt. |
Grüßt euch,
für mich sieht es so aus als ob man jetzt zeigen muss, dass die Abbildung [mm] \vec{c}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR^{n} [/mm] aus einer konvexen Menge besteht. Oder eben das Gegenteil beweisen. Leider tümmeln sich bei mir wieder nur die Fragezeichen bei solchen Aufgaben. Soll ich mir jetzt eine Funktion rauspicken die zwar stetig diffbar. ist, aber bei der Ableitung irgendwo lücken aufweisst (negative Wurzel, [mm] \bruch{xyz}{0})? [/mm]
Und was hilft mir die Bemerkung?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 10.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ist die folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes
> für skalarwertige Funktionen auf di fferenzierbare
> Abbildungen [mm]\vec{c}:[/mm] [a,b] [mm]\to \IR^{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] und
> a, b [mm]\in \IR,[/mm] a < b richtig?
>
> Ist [mm]\vec{c}:[/mm] [a,b] [mm]\to \IR^{n}[/mm] stetig di fferenzierbar,
> dann gibt es eine Zwischenstelle z [mm]\in[/mm] (a,b) mit
> [mm]\vec{c}(b)-\vec{c}(a)= \vec{c}'(z)(b-a)[/mm]
> Begründen Sie
> entweder, weshalb diese Aussage gilt, oder geben Sie ein
> Gegenbeispiel an.
> Bemerkung: Stetige Abbildungen [mm]\vec{c}:[/mm] [a; b] [mm]\to \IR^{n }[/mm]
> werden auch Kurven bzw. Parameterdarstellungen von Kurven
> im [mm]\IR^{n }[/mm] genannt.
> Grüßt euch,
> für mich sieht es so aus als ob man jetzt zeigen muss,
> dass die Abbildung [mm]\vec{c}:[/mm] [a,b] [mm]\to \IR^{n}[/mm] aus einer
> konvexen Menge besteht. Oder eben das Gegenteil beweisen.
> Leider tümmeln sich bei mir wieder nur die Fragezeichen
> bei solchen Aufgaben. Soll ich mir jetzt eine Funktion
> rauspicken die zwar stetig diffbar. ist, aber bei der
> Ableitung irgendwo lücken aufweisst (negative Wurzel,
> [mm]\bruch{xyz}{0})?[/mm]
> Und was hilft mir die Bemerkung?
"Glatte Kurven" kann man sich leichter vorstellen als "differenzierbare Abbildungen mit einem Intervall als Definitionsbereich". Guck Dir also Kurven im [mm] $\IR^2$ [/mm] an.
Gleichwertig zum Mittelwertsatz ist der Satz von Rolle. Nur den brauchst Du für den mehrdimensionalen Fall zu zeigen bzw. zu wiederlegen. Wie sieht eine Kurve aus mit [mm] $\vec c(a)=\vec [/mm] c(b)$ ?
Grüße,
Wolfgang
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