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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:28 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ich brauche mal wieder einen kleinen Denkanstoß bei einem Bsp.:
Zeigen sie mit dem Mittelwertsatz:
arsinh x + arsinh y = arsinh( x * [mm] \wurzel{1+y^2} [/mm] + y * [mm] \wurzel {1+x^2})
[/mm]
Hinweis: Zeigen sie die Gültigkeit zuerst für beliebiges x und y = 0, und dann mit dem MWS für beliebiges y).
also der erste Punkt für y = 0 ist klar;
jedoch komme ich nicht dahinter wie ich den MWS anwenden muss um den zweiten Punkt zu lösen.
Bin dankbar für jeden Tip! mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Leider weiß ich nicht, wie man die Aufgabe mit dem Mittelwertsatz lösen soll, aber man kann sie natürlich auch ganz elementar wie folgt lösen:
$arsinh(x) + arsinh(y)$
[mm] $=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) [/mm] + [mm] \ln(y+\sqrt{1+y^2})$
[/mm]
[mm] $=\ln\left((x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})\right)$
[/mm]
$= [mm] \ln\left(x\sqrt{1+y^2} + x\sqrt{1+x^2} + xy + \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}\right)$
[/mm]
$= [mm] \ln\left(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} + \sqrt{\left(xy + \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} \right)^2}\right)$
[/mm]
$= [mm] \ln\left(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} + \sqrt{x^2y^2 + (1+x^2)(1+y^2) + 2xy\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2}}\right)$
[/mm]
$= [mm] \ln\left(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+x^2(1+y^2) + y^2(1+x^2) + 2xy\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2}}\right)$
[/mm]
$= [mm] \ln\left(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+\left(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2}\right)^2}\right)$
[/mm]
[mm] $=arsinh\left(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2}\right)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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