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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 09.05.2006 | | Autor: | shogo2 |
| Aufgabe | Es sei:
[mm] \overline{X}_{k}:= \bruch{1}{k} \summe_{i=1}^{k}X_{i} [/mm] und
[mm] S_{k}:= \wurzel{\bruch{1}{k-1} \summe_{i=1}^{k}(X_{i}- \overline{X}_{k})^2}
[/mm]
der Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung der ersten k Werte.
Stellen sie [mm] \overline{X}_{k+1} [/mm] und [mm] S_{k+1} [/mm] als Funktion von (k, [mm] \overline{X}_{k}, S_{k+1}, X_{k+1} [/mm] - [mm] \overline{X}_{k}) [/mm] dar. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiss, dass man Formeln erhalten sollte, denen man direkt ansieht, welchen Einfluss die Differenz [mm] X_{k+1} [/mm] - [mm] \overline{X}_{k} [/mm] auf [mm] \overline{X}_{k+1} [/mm] und [mm] S_{k+1} [/mm] hat.
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Einfach nur scharf hinsehen:
Es ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^k~X_i [/mm] = [mm] k\cdot\bar{X}_k$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{i=1}^{k+1}~X_i [/mm] = [mm] (k+1)\cdot\bar{X}_{k+1}$, [/mm] beides kann in [mm] $\sum\limits_{i=1}^{k+1}~X_i [/mm] = [mm] X_{k+1} [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^k~X_i$ [/mm] eingesetzt werden und dann nach [mm] $\bar{X}_{k+1}$ [/mm] umgeformt werden.
Für die Varianz nutzt man zunächst die alternative Darstellung [mm] $S_k^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{k-1} \left[ \left( \sum\limits_{i=1}^k~X_i^2 \right) - k\cdot\bar{X}_k^2 \right]$, [/mm] aus der durch Umstellung [mm] $\sum\limits_{i=1}^k~X_i^2 [/mm] = [mm] (k-1)\cdot S_k^2+k\cdot\bar{X}_k^2$ [/mm] und dann auch [mm] $\sum\limits_{i=1}^{k+1}~X_i^2 [/mm] = [mm] k\cdot S_{k+1}^2+(k+1)\cdot\bar{X}_{k+1}^2$ [/mm] folgt. Beides in [mm] $\sum\limits_{i=1}^{k+1}~X_i^2 [/mm] = [mm] X_{k+1}^2 [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^k~X_i^2$ [/mm] eingesetzt ergibt auch hier eine Rekursionsformel für [mm] $S_{k+1}$.
[/mm]
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