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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Mit Induktion Teilbarkeit zeig
Mit Induktion Teilbarkeit zeig < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Mit Induktion Teilbarkeit zeig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mi 16.03.2011
Autor: racy90

Hallo,

Ich möchte mit vollständiger Induktion zeigen das  [mm] n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm] stets durch 3 teilbar ist

also [mm] n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm] =3k

n-->n+1

[mm] (n+1)^3+(n+2)^3+(n+)^3 [/mm] =doch was kommt auf der rechten Seite wenn ich n duch n+1 ersetze??
        
Bezug
Mit Induktion Teilbarkeit zeig: Ausmultiplizieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mi 16.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo racy,
> Hallo,
>  
> Ich möchte mit vollständiger Induktion zeigen das  
> [mm]n^3+(n+1)^3+(n+2)^3[/mm] stets durch 3 teilbar ist
>  
> also [mm]n^3+(n+1)^3+(n+2)^3[/mm] =3k
>  
> n-->n+1
>  
> [mm](n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3[/mm] =doch was kommt auf der rechten
> Seite wenn ich n duch n+1 ersetze??

Der Unterschied zw. Induktionsvoraussetzung und -behauptung ist, dass statt [mm] n^3 [/mm] jetzt [mm] (n+3)^3 [/mm] dasteht. Also musst du [mm] (n+3)^3 [/mm] mal ausmultiplizieren. Das [mm] n^3 [/mm] von dem Ausmultiplizierten brauchst du, um die IV einzusetzen und bei dem Rest musst du so zeigen, dass es durch 3 teilbar ist.

Gruß



Bezug
                
Bezug
Mit Induktion Teilbarkeit zeig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mi 16.03.2011
Autor: racy90

also so etwa ??

[mm] (n+1)^3+(n+2)^3+n^3+9n^2+27n+27 [/mm]

jetzt hab ich [mm] (n+3)^3 [/mm] aufgelöst
Bezug
                        
Bezug
Mit Induktion Teilbarkeit zeig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Mi 16.03.2011
Autor: kamaleonti


> also so etwa ??
>  
> [mm](n+1)^3+(n+2)^3+n^3+9n^2+27n+27[/mm]
>  
> jetzt hab ich [mm](n+3)^3[/mm] aufgelöst

[ok]
und weiter, IV einsetzen?

Gruß

Bezug
        
Bezug
Mit Induktion Teilbarkeit zeig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mi 16.03.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Ich möchte mit vollständiger Induktion zeigen das  
> [mm]n^3+(n+1)^3+(n+2)^3[/mm] stets durch 3 teilbar ist
>  
> also [mm]n^3+(n+1)^3+(n+2)^3[/mm] =3k
>  
> n-->n+1
>  
> [mm](n+1)^3+(n+2)^3+(n+)^3[/mm] =doch was kommt auf der rechten
> Seite wenn ich n duch n+1 ersetze??


[mm](n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3= [n^3+(n+1)^3+(n+2)^3]+(n+3)^3-n^3[/mm]

Der Ausdruck in [...] ist nach I.V. teilbar durch 3.

Um [mm] (n+3)^3-n^3 [/mm] in den Griff zu bekommen, bemühe die Formel

           [mm] $a^3-b^3= (a-b)*(a^2+ab+b^2)$ [/mm]

FRED

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