Minimum und Orthogonalität < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Snarfu |
| Aufgabe | Sei X ein Hilbertraum, U [mm] \subset [/mm] X ein Unterraum von X und x [mm] \in [/mm] X , x [mm] \notin [/mm] U . Man zeige:
[mm] u_0 [/mm] ist genau dann eine Lösung von [mm] min_{u \in U} \left|\left|x-u\right|\right| [/mm] wenn [mm] (x-u_0) [/mm] orthogonal zu U ist. |
Hallo Forum,
Ich komme bei obriger Aufgabe nicht vorwärts. Ich habe versucht mit einer Orthonormalbasis [mm] \left\{e_1,...\right\} [/mm] der Lage Herr zu werden aber keiner der Ansätze die ich damit versucht habe hat irgendwohin geführt.
Es wäre schön wenn jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank und Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 24.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Es wäre schön wenn jemand helfen könnte.
Falls es die Bedinung erfüllt: [m]||x-u||^2=||u-u_0||^2+||x-u_0||^2[/m]
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 25.04.2010 | | Autor: | Snarfu |
Vielen Dank, ich würde das dann so schreiben:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei [mm] u_0 \in [/mm] U mit [mm] =0 \forall u\inU
[/mm]
Dann ist:
[mm] \|x-u\|^2=\|x-u_0+u_0-u\|^2=\|x-u_0\|^2+\|u_0-u\|^2+\underbrace{2}_{=0\ da\ (u_0-u)\in U}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ \|x-u\| [/mm] wird minimal für [mm] u=u_0
[/mm]
und
[mm] "\Leftarrow" [/mm] Sei [mm] \|x-u_0\|\leq\|x-u\| \forall u\inU
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ \|x-u_0\|^2\leq\|x-u_0\|^2+\|u_0-u\|^2+2
[/mm]
[mm] 0\leq \|x-u_0\|^2+\|u_0-u\|^2+2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow u=u_0 [/mm] und [mm] (x-u_0) [/mm] steht senkrecht auf allen [mm] u\in [/mm] U
Gäbe es da etwas zu beanstanden? Vielen Dank und beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]0\leq \|x-u_0\|^2+\|u_0-u\|^2+2[/mm]
Ich wäre eher für [mm]0\leq \|u_0-u\|^2+2[/mm]. Wenn dann das SKP für einen Vektor u kleiner 0 ist, dann betrachte ich die Funktion [m]\lambda\mapsto \|u_0-\lambda*u\|^2+2[/m] - und zeige, dass sie irgendwo kleiner als 0 ist im Widerspruch zur Vorraussetzung.
> [mm]\Leftrightarrow u=u_0[/mm] und [mm](x-u_0)[/mm] steht senkrecht auf
> allen [mm]u\in[/mm] U
Das sehe ich nicht wieso das gelten sollte.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:07 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Snarfu |
Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. Wenn ich
[mm] 0\leq \|u_0-u\|^2+2 [/mm]
für [mm] [/mm] <0
umforme komme ich auf
[mm] 0\leq \|\lambda u-u_0\|^2-2\lambda [/mm]
und jetzt sehe ich nicht wie ich das weiter abschätzen könnte bzw. sehen das hier ein widerspruch ist.
Danke für die Geduld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 28.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Snarfu |
Jetzt seh ich's.
Danke, saß offensichtlich auf den Augen.
Gruß
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