Minimum einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 So 29.07.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | Guten Abend, ich soll bei der Funktion $ [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] ,\ [mm] f(x)=2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3 [/mm] $,
falls möglich, $ [mm] \overline x\in \IR [/mm] $ bestimmen mit $ [mm] f(\overline x)=\min_{x \in \IR} [/mm] f(x) $. |
In der Lösung wurde $ [mm] 2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3 [/mm] $ zu
$ [mm] \langle \underbrace{\pmat{ 2 & -0,5 & 1 \\ -0,5 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }}_{=:A}x, [/mm] x [mm] \rangle [/mm] $ umgeformt,
dann wurde gezeigt, dass $ A $ symmertisch und positiv definit ist. Dann steht einfach nur noch das da:
"Es gilt f ist minimal in $ [mm] \overline [/mm] x [mm] \iff A\overline [/mm] x=0 [mm] \Rightarrow f(0)=\min_{x \in \IR} [/mm] f(x) $ "
Warum gilt das? Könnt ihr mir helfen?
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Hiho,
> dann wurde gezeigt, dass [mm]A[/mm] symmertisch und positiv definit ist.
Das hast du noch verstanden?
> Dann steht einfach nur noch das da:
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> "Es gilt f ist minimal in [mm]\overline x \iff A\overline x=0 \Rightarrow f(0)=\min_{x \in \IR} f(x)[/mm]
> "
>
> Warum gilt das? Könnt ihr mir helfen?
Naja, eine Matrix A heißt ja nun gerade positiv definit, falls [mm] $\langle [/mm] Ax,x [mm] \rangle [/mm] > [mm] \;0$ [/mm] für [mm] $x\not= [/mm] 0$.
Nun gilt ja $f(x) = [mm] \langle [/mm] Ax,x [mm] \rangle$ [/mm] mit A positiv definit, d.h. es gilt:
$f(x) = [mm] \begin{cases} \langle Ax,x \rangle > 0, \mbox{für } x \not= 0 \\ \langle Ax,x \rangle = 0, \mbox{für } x = 0 \end{cases}$
[/mm]
d.h. [mm] $\overline{x} [/mm] = 0$ ist Minimumstelle.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Lovella |
Wow.... ich hätte nicht gedacht, dass auf diese Frage jemand antwortet, und schon gar nicht so schnell! Vielen Dank dafür schonmal!
Das mit symmetrisch und positiv definit hab ich verstanden. Danke für deine Antwort...
War das dann jetzt reiner Zufall, das das klappt, weil keine Terme in der Funktion drin waren, die ein $ - [mm] \langle b,x\rangle [/mm] $ erforderlich machen?
Dann würde es nicht reichen, zu zeigen, dass A symmetrisch und positiv definit ist, oder?
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Hiho,
> War das dann jetzt reiner Zufall, das das klappt, weil
> keine Terme in der Funktion drin waren, die ein [mm]- \langle b,x\rangle[/mm] erforderlich machen?
Zufall.... naja. Dass man f so darstellen konnte, war sicher nicht zufällig, sondern vom Aufgabensteller gewollt. Aber ja, im Allgemeinen klappt das natürlich nicht.
> Dann würde es nicht reichen, zu zeigen, dass A symmetrisch
> und positiv definit ist, oder?
Klares jein! Kommt halt drauf an, was du über den <b,x> Term so aussagen kannst. Es hätte ja auch ein + <x,x> werden können, davon wüsstest du wiederum, dass es größer gleich Null ist 
Es gibt da also kein Patentrezept.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Lovella |
"Es gibt da also kein Patentrezept."
Typisch! Aber vielen Dank für deine Antwort!
Eine wichtige Frage habe ich noch: Also A ist ja immer symmetrisch. Was aber ist, wenn A nicht positiv definit ist bei solchen Minimierungsaufgaben? Kann man dann auch nicht das CG-Verfahren oder das Gradientenverfahren anwenden?
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Hiho,
> Eine wichtige Frage habe ich noch: Also A ist ja immer
> symmetrisch. Was aber ist, wenn A nicht positiv definit ist
> bei solchen Minimierungsaufgaben? Kann man dann auch nicht
> das CG-Verfahren oder das Gradientenverfahren anwenden?
ah, wir sind also in der Numerik.
Bisher haben wir die Aufgabe ja nicht numerisch, sondern exakt gelöst, insofern war das bisher nicht so klar.
Da beide oben genannten Verfahren voraussetzen, dass die Matrix symmetrisch und positiv definit ist, kannst du sie daher nicht anwenden, wenn das nicht gegeben ist.
MFG,
Gono.
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