Minimum bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] positive reelle Zahlen mit [mm] \summe_{j=1}^{n}a_j [/mm] = 1.
a) Bestimmen Sie das Minimum der Funktion [mm] f(x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}a_jx_j [/mm]
auf der Menge M = [mm] \{(x_1, ..., x_n) \in \IR^n : x_j > 0 \forall j, x_1^{a_1}x_2^{a_2}***x_n^{a_n} = 1\}
[/mm]
b) Beweisen Sie die folgende Ungleichung:
[mm] x_1^{a_1}x_2^{a_2}***x_n^{a_n} \le \summe_{j=1}^{n}a_jx_j \forall (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) \in [/mm] (0, [mm] +\infty)^n [/mm] |
Hallo,
zu Teil a) habe ich bisher folgendes:
Betrachte die offene Teilmenge
A := [mm] \IR_{>0}^{n} [/mm] = [mm] \{(x_1, ..., x_n) \in \IR^n : x_j > 0 \forall j\} \subset \IR^n
[/mm]
Definiere g: [mm] \IR^n \to \IR, g(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] = [mm] x_1^{a_1}***x_n^{a_1} [/mm] - 1
Dann: M = [mm] \{x \in A : g(x) = 0\}
[/mm]
Insbesondere sind f und g stetig diff'bar.
[mm] \Rightarrow \nabla [/mm] f(x) = [mm] \vektor{a_1 \\ ... \\ a_n} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A.
Wenn es eine Extremstelle y = [mm] (y_1, [/mm] ..., [mm] y_n) \in [/mm] M von f gibt, dann gibt es nach der Multiplikatorregel von Lagrange ein [mm] \lambda \in \IR, [/mm] sodass [mm] \nabla [/mm] f(y) = [mm] \lambda \nabla [/mm] g(y)
[mm] \gdw \vektor{a_1 \\ ... \\ a_n} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{a_1y_1^{a_1 - 1}***y_n^{a_n} \\ ... \\ y_1^{a_1}***a_ny_n^{a_n-1}} [/mm] (Insbesondere [mm] \lambda [/mm] > 0)
[mm] \gdw \vektor{a_1y_1 \\ ... \\ a_ny_n} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{a_1y_1^{a_1}***x_n^{a_n} \\ ... \\ y_1^{a_1}***a_ny^{a_n}} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{a_1 \\ ... \\ a_n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_jy_j [/mm] = [mm] \lambda a_j
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_j [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Weiterhin: [mm] f(y_1, [/mm] ..., [mm] y_n) [/mm] = [mm] \lambda a_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda a_n [/mm] = [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] = [mm] \lambda [/mm] = f(y)
[mm] \Rightarrow f(\lambda, [/mm] ..., [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Weiterhin g(y) = [mm] g(\lambda, [/mm] ..., [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] - 1 = 0
[mm] \gdw \lambda [/mm] = 1
Wie zeige ich nun, dass (1, ..., 1) wirklich eine Minimumstelle von f auf M ist?
Könnt ihr mir auch einen Tipp für Teil b) geben?
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 11.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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