Minimum bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Kosten für eine Lastwagenfahrt setzen sich aus den Treibstoffkosten und dem Fahrerlohn zusammen.
Der Dieselverbrauch pro Kilometer ist die Summe aus einem konstaten Term a (Rollreibung) und einem zum Geschwindigkeitsquadrat proportionalen Tern bv² (Luftwiderstand). der Fahrerlohn F ist proportional zur Fahrzeit t, d.h. F=c*t.
a) Drücken Sie die Gesamtkosten G für eine Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit v über die Streckes durch a,b,c,s,v und den Dieselpreis B pro Liter aus.
b) Für welche Geschwindigkeit v0 sind die Gesamtkosten minimal?
c)Als konkretes Beispiel betrachten wireine Fahrt über s=100km mit den Folgenden daten: a=0.04 liter/km , b=1.2*10^(-5) liter*h²/km³ , c=80/h und B=2/Liter |
a) F=c*t
[mm] =\bruch{c*s}{v} [/mm] weil [mm] v=\bruch{s}{t}
[/mm]
Dieselverbrauch = a+b*v²
B= Dieselpreis pro Kilometer,
demnach bekomme ich für G
[mm] G=\bruch{c*s}{v} [/mm] + B*(a+b*v²)
ist das denn richtig???
b) so, wenn a richtig sein sollte, müsste ich die Gesamtkostenfunktion G nach v ableiten, wobei man da unmengen an unbekannte hat.
oder soll man das mit c verknüpfen und danach aussagen über die geschwindigkeit v machen?
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
mfg.
|
|
| |
|
Hallo!
$ [mm] G=\bruch{c\cdot{}s}{v} [/mm] + [mm] B*(a+b*v^2) [/mm] $
stimmt noch nicht ganz, denn rechts in der Klammer steht der Verbrauch pro km und B ist der Spritpreis. Macht zusammen die Spritkosten pro km, du mußt also noch mit s multiplizieren:
$ [mm] G=\bruch{c\cdot{}s}{v} [/mm] + [mm] B*(a+b*v^2)*s [/mm] $
Und ja, die zweite Aufgabe verlang das Ableiten, Nullsetzen, und Auflösen nach v dieser nur aus Variablen bestehenden Gleichung.
Erst in der folgenden Aufgabe sollst du konkrete Zahlen einsetzen.
Daran kannst du erkennen, welcher Faktor das Ergebnis wie beeinflußt, so könntest du feststellen, daß ein größeres b zu einer kleineren Geschwindigkeit führen kann, während der Lohn des Fahrers ja eher für eine höhere Geschwindigkeit spricht.
|
|
|
| |
|
hm okay. das is einleuchtend, danke für die fixe antwort.
zu b)
G(v) = [mm] \bruch{c*s}{v} [/mm] + B*(a+b*v²)*s
= [mm] \bruch{c*s}{v} [/mm] + B*s*a + B*s*b*v²
soo nun zur ableitung.. wie geht das nochmal, wenn man mehrere Variablen hat? war das nciht so, dass man alle bis auf v als zahlen annimmt und dann ableitet??
Ähm wenn ich davon ausgehe dann habe ich als ableitung:
G'(v) = [mm] \bruch{-c*s}{v²} [/mm] + 2*B*s*b*v
Nullsetzen:
0 = [mm] \bruch{-c*s}{v²} [/mm] + 2*B*s*b*v
[mm] \bruch{c*s}{v²} [/mm] = 2*B*s*b*v
v³ = [mm] \bruch{c}{2*B*b}
[/mm]
v= [mm] \wurzel[3]{\bruch{c}{2*B*b}}
[/mm]
ist das richtig? :P
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ja, das ist richtig, und du siehst hier vier Dinge, die du so direkt, wenn du einfach Zahlen einsetzt, nicht siehst:
1. Höherer Fahrerlohn spricht für höhere Geschwindigkeit, um die Lohnkosten klein zu halten
2. Höhere Spritkosten und höherer Luftwiderstand b sprechen für eher kleinere Geschwindigkeiten
Und jetzt kommts:
3. Die Rollreibung spielt keine Rolle
4. Die Länge der Strecke auch nicht!
Das ist eigentlich auch klar: Die Energie, die zum Überwinden der Rollreibung aufgebracht werden muß, hängt nur von der Strecke ab. Sie ist also konstant, egal, welche Geschwindigkeit du hast.
Und: Wenn du eine Geschwindigkeit gefunden hast, bei der du 100km am günstigsten zurücklegen kannst, ist klar, daß es bei einer Strecke von 200km doch nicht anders sein kann.
Zu guter letzt ist deine Formel nun recht kompakt geworden, die c) wird damit viel einfacher...
|
|
|
|
